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HISTORIA DE LAS MATEMATICAS

En una zona del norte de Italia, Piero della Francesca convirtió esa zona en su hogar, allí se encuentran unas de las mejores obras de arte de Piero que también son obras maestras de matemática. Los artistas y arquitectos del comienzo del renacimiento, recuperaron el uso de las perspectivas una técnica que se había perdido en miles de años, pero usarla de forma correcta fue más difícil de lo que se esperaba. Piero fue el primero en comprender la perspectiva y lo consiguió porque era matemático además de artista en su obra maestra la facelagion de Cristo (cuadro asombroso) surgió un problema, pero se trata de un problema de matemática no de no de arte, así que se han usado las matemáticas para dar vida a este cuadro, el problema de las perspectiva; es como representar el mundo tridimensional sobre un lienzo de dos dimensiones, Piero utilizo las matemáticas para una tercera dimensión no es en absoluto representar un mundo tridimensional en una superficie de dos dimensiones. Lo que está surgiendo es un nuevo lenguaje matemático que permite que una cosa se corresponda con otra. El trabajo de Piero fue el comienzo de una nueva forma de entender la geometría, pero harían falta 200 años antes de que los matemáticos siguieran hasta donde él lo dejo. Las fronteras del espacio: En el siglo XVLL Europa tomo el relevo a oriente medio, como el centro mundial de las matemáticas, se habían hecho grandes avances en la geometría de los objetos fijos en tiempo y espacio. En Francia, Alemania, Holanda y Gran Bretaña el reto era comprender la matemática de los objetos en movimientos y la búsqueda de esas matemáticas comenzó en el pueblo llamado Descartes del centro de Francia, solo a los francés se les ocurrió bautizar un pueblo con el nombre de un matemático. En Francia valoran a sus matemáticos, este el pueblo de Descartes en el valle de Loira, hace 200 años lo rebautizaron con el nombre famoso del filosofo y matemático. Descartes nació aquí en 1556 fue un niño enfermizo y perdió a su madre siendo muy pequeño. Para practicar las matemáticas avece se necesita eliminar toda las distracciones y sumergirse en un mundo de formas y pautas. Descartes pensaba que la cama era el mejor sitio para alcanzar ese estado de meditación, la casa en la que descartes realizaba sus meditaciones, en la actualidad es un museo dedicado a todos los cartesianos. Las piezas que se exhiben, muestran como encajan sus ideas científicas, filosóficas y matemáticas se muestra también al aspecto menos conocido de la vida y obra de descartes, decidió ser soldado lucho tanto en el ejercito protestante como en el católico, porque no era un patriota, lucho para protestante alemanes y para católicos franceses y para cualquiera que le pagara, en una mañana del año 1628 estaba acampando con el ejercito, en la orilla de un rio, según se cuenta que esa noche descarte no podía dormir , pero estaba pensando en su tema filosófico favorito, pero lo encontraba muy frustrante, de pronto se quedo dormido y en su sueño comprendió que la clave era construir la filosofía sobre la base de esos matemáticos, se dio cuenta que los números podían eliminar esas telarañas de la incertidumbre, quería publicar sus ideas, pero le preocupaba como seria recibidas en la católica francesa. Descartes se convirtió en uno de los líderes de la nueva revolución científica que negaba la idea dominante, que el sol giraba alrededor de la tierra. Hubo un diccionario que se publico en Holanda 1657 incluye muchas ideas filosóficas pero los pensamientos más radicales estaban en la apéndice, una propuesta de unión del algebra y la geometría. De pronto la geometría se había convertido en algebra. Descartes abrió las posibilidades de la geometría a dimensiones más elevadas, mundo que nuestro ojos no verán nunca pero que son esenciales en la tecnología moderna y en la física, no hay duda de que descartes fue de los grandes de las matemáticas no hay duda de su comprensión de la conexión del algebra y la geometría. Trasformo para siempre las matemáticas, para que su revolución funcionara necesitaba otro ingrediente vital. Muchos de los matemáticos de la época de descartes tenían fuertes convicciones religiosas. En el siglo XVLL había un moje, que había ido a la misma escuela que descartes, amaba las matemáticas tanto como amaba a Dios, de hecho veía a las matemáticas como una ciencia para probar la existencia de Dios. Marín Marcen fue matemático de primer orden uno de sus descubrimientos sobre los números primos, sea llamado así en honor a él, pero también es famoso por su correspondencia, Marcen actuaba como especie de servidor de internet del siglo XVLL recibiendo ideas y distribuyéndola. En Europa en el siglo XVLL había un espíritu de comunicación matemática que no se había visto desde los griegos, Marcen animo a la gente a leer el nuevo trabajo de descartes sobre geometría, también dio publicidad a los nuevos descubrimientos sobre las propiedades de los números. La mayor contribución de Fermat a las matemáticas fue practicar, inventar la teoría moderna e los números y dio gran cantidad de conjeturas y teoremas sobre números incluyendo su famoso teorema. Fermat era magistrado y en sus tiempos libres se dedicaba a la matemática, batallar con los problemas matemáticos era su entretenimiento y su pasión. Lo maravilloso de las matemáticas es que se pueden practicar e cualquier lugar, no se necesita tener un laboratorio o una biblioteca, Fermat hacia gran parte de su trabajo sentado frente a la mesa en la cocina. Fermat consiguió pautas en los números que han desafiado a los matemáticos durante siglos, a Fermat le gustaba jugar con los números, le encantaba buscar pautas en los números y quería además que dichas pautas se cumplieran siempre. Pero las matemáticas de Fermat además de ser la base para la diversión y los juegos de años posteriores han tenido también aplicaciones muy serias. Uno de sus teoremas, el pequeño teorema es la base los códigos para proteger las tarjetas de crédito en internet, en la tecnología que confiamos actualmente proviene de los garabatos del siglo XVLL. Pero la utilidad de las matemáticas de Fermat no es nada comparada con nuestro siguiente gran matematico y no era de Francia sino de su gran rival. En el siglo XVLL Gran Bretaña era un poder mundial emergente su expansión y ambición, requerían métodos nuevos de medida y calculo lo que dio un gran impulso a la matemática. El padre de Isaac Newton era un labrador analfabeto y murió poco después de que naciera Newton. Newton odiaba a su padrastro pero fue él, el que se encargo que fuera un matemático y no un pastor de ovejas, Newton a los 22 años descubrió una teoría de la luz, descubrió la gravedad y el cálculo. El cálculo de Newton nos enseña a comprender el mundo cambiante, las orbitas de los planetas, los movimientos de los fluidos. Atreves del poder del cálculo tenemos la forma de describir con precisión matemática. Newton decidió no publicar nada simplemente compartir ideas con sus amigos, su fama fue gradualmente en aumento, se convirtió en catedrático. Desarrollar el cálculo era uno de sus muchos proyectos hasta que oyó hablar de un rival, que se le había ocurrido la misma idea que a él. Leibniz descubrió el cálculo un poco después que a Newton, Leibniz tenía 29 años. Y en dos meses desarrollo el cálculo diferencial y el cálculo integral. Leibniz viajo por todo Europa representando sus intereses fue uno de los primeros que invento, maquinas para calcular que funcionara en sistema binario. Los investigadores usan el cálculo para aumentar los beneficios, los ingenieros para minimizar el uso de energía, los diseñadores para optimizar las construcciones sea en una parte primordial en el mundo moderno. Leibniz estaba muy contento al haber encontrado fuera de su círculo personal dos matemáticos inteligentes que dominaban su cálculo y podían difundirlo en la comunidad científica, ellos son muy importantes para Leibniz. Gauss le llaman el príncipe de las matemáticas, sin embargo no matemáticos pueden saber algo sobre él, Gauss era el héroe local, nadie se comparaba con él, a los 12 años discutía la geometría de Euclides, a los 15 descubrió una figura de 17 lados que nadie sabía que existiera, su temprano éxito lo motivo para escribir un diario.

UN POCO DE HISTORIA

Los orígenes primitivos. 1.- El concepto de números. Los matemáticos en el siglo XX llevan a cabo una actividad intelectual muy sofisticada que no resulta fácil de definir, pero una gran parte de lo que hoy se conoce como matemática es el resultado de un pensamiento que originalmente se centró en los conceptos de números, magnitud y forma. Las nociones primitivas relacionadas con los conceptos de número, magnitud y forma se pueden hacer remontar a los primeros días de la raza humana, e incluso pueden encontrarse ya indicios de conceptos matemáticos en formas de vida que probablemente han precedido en muchos millones de años al género humano. Durante un cierto tiempo se pensó que la matemática se refería directamente al mundo de nuestra experiencia sensible, y solo en el siglo XlX se liberó la matemática pura de las limitaciones que implican las observaciones de la naturaleza. Evidentemente nuestros antepasados muy primitivos contaban al principio sólo hasta dos, y cualquier conjunto que sobrepasara este nivel quedaba degradado a la condición de muchos. Hay todavía en la actualidad muchos pueblos primitivos que cuentan objetos reuniéndolos en grupos de dos objetos cada uno. 2.- Bases de numeración primitivas. La conciencia del número se hizo al fin lo suficientemente extendida y clara como para que se llegase a sentir la necesidad de expresar esta propiedad de alguna manera, al principio presumiblemente sólo en un lenguaje simbólico. Los dedos de la mano pueden usarse fácilmente para presentar un conjunto de dos, tres, cuatro o cinco objetos, y si no de uno, ello fue debido a que el número uno no era reconocido generalmente al principio como un verdadero número. Por medio de los dedos de las dos manos se podían representar colecciones de hasta diez elementos, y usando los dedos de manos y pies podían utilizarse pequeños montones de piedras para representar una correspondencia biunívoca con los elementos de otro conjunto, cuando el hombre primitivo empleaba este sistema de representación, a menudo amontonaba las piedras por grupos de cinco, debido a que antes se había familiarizado con los quíntuplos de objetos por observación de su propia mano o pie. 3.- El lenguaje numérico y los orígenes de la numeración. Lo que distingue de manera más notable al hombre del resto de los animales es el lenguaje articulado, lenguaje cuyo desarrollo fue esencial para el nacimiento del pensamiento matemático abstracto. Los miles de años que necesitó el hombre para extraer los conceptos abstractos de situaciones concretas repetidas son testigos de las dificultades que se han debido encontrara y superar para establecer unas bases, incluso muy primitivas, para la matemática. Además, todavía hay una gran cantidad de cuestiones sin respuestas relativas al origen de la matemática; usualmente se supone que esta ciencia apareció para responder a necesidades prácticas del hombre, pero hay estudios antropológicos que sugieren la posibilidad de un origen alternativo. El concepto de número natural es uno de los más antiguos de la matemática, y sus orígenes se pierden entre la bruma de la antigüedad prehistórica. El concepto de fracción racional, en cambio se desarrolló relativamente tarde y, en general, no estuvo estrechamente relacionado con el sistema elaborado por el hombre para los enteros. Entre las tribus primitivas no parece haber existido prácticamente ninguna necesidad de usar fracciones, para las necesidades cuantitativas usuales el hombre puede elegir, en la práctica unidades lo suficientemente pequeñas como para evitar la necesidad de usar fracciones. Y, por tanto, no hubo tampoco un progreso ordenado y lineal de las fracciones binarias a las quinarias y finalmente a las decimales, sino que los decimales fueron esencialmente producto de la época moderna de las matemáticas y no del periodo antiguo. 4.- El origen de la geometría. Herodoto y Aristóteles no querían arriesgarse a situar los orígenes de la geometría en una época anterior a la de la civilización egipcia, pero está claro que la geometría en la que ellos pensaban tenía sus raíces en una antigüedad mucho mayor. Herodoto sostenía que la geometría se había originado en Egipto, porque creía que dicha metería había surgido allí a partir de la necesidad práctica de volver a trazar las lindes de las tierras después de la inundación anual del valle del rio Nilo. Aristóteles sostenía en cambio que el cultivo y desarrollo de la geometría en Egipto se había visto impulsado por la existencia allí de una amplia clase sacerdotal ociosa. Podemos considerar que los puntos de vista de Herodoto y Aristóteles representan dos teorías opuestas acerca de los orígenes de la matemática, la primera defendiendo un origen basado en una necesidad practica, y la segunda un origen basado en el ocio y el ritual sacerdotal. El hecho de que los geómetras egipcios se les llamase a veces los tensadores de a cuerda o agrimensores se puede utilizar para apoyar cualquiera de las dos teorías, porque las cuerdas se usaron indudablemente tanto para bosquejar los planos de los templos como para construir las fronteras borradas entres los terrenos. No podemos rechazar con seguridad ni la teoría de Aristóteles ni la de Herodoto sobre los motivos que condujeron a la matemática, pero lo que sí está bien claro es que los dos subestimaron la edad de dicha ciencia. El hombre neolítico puede haber disfrutado de escaso tiempo de ocio y haber tenido pocas necesidades de utilizar la agrimensura, y sin embargo sus dibujos y diseños revelan un interés en las relaciones especiales que prepararon el camino a la geometría. El interés del hombre prehistórico por los diseños y las relaciones especiales puede haber surgido de su sentido estético, para disfrutar de la belleza de la forma, motivo que también anima frecuentemente al matemático actual. Los resultados geométricos más antiguos descubiertos en la india constituyen lo que se llamo los sulvasutras o reglas de la cuerda; se trata de relaciones muy sencillas que al parecer se utilizaban en la construcción de altares y de templos. En Egipto eran más practicas que las de sus colegas en la india, pero se ha sugerido que ambas geometrías, tanto la egipcia como la hindú, pudieron derivarse de una fuerte común, una especie de protogeometria que estaría relacionada con algunos ritos primitivos más o menos de la misma manera en que la ciencia se desarrolló a partir de la mitología y la filosofía de la teología. Tenemos que tener presente que la teoría del origen de la geometría en una secularización de prácticas rituales, no está en absoluto bien establecida. Egipto. 1.- Los primeros documentos. La edad de piedra ese largo periodo que precedió al uso de los metales no tuvo un final abrupto y definido; de hecho, el tipo de cultura que representaba tuvo una duración mucho más larga en Europa que en algunas regiones de Asia y de África. El nacimiento de las civilizaciones que se caracterizaron por el uso de los metales tuvo lugar en un principio en los grandes valles fluviales, como son los que nos encontramos en Egipto, Mesopotamia, India y China, y debido a ello nos referimos a la parte inicial del periodo ya propiamente histórico como la etapa potámica. En Mesopotamia, donde la arcilla es abundante, se escribía con una varilla en forma de prisma triangular sobre las tablillas de arcilla blanda, imprimiendo en ellas marcas en forma de cuña; estas tablillas se conocían a continuación en hornos o simplemente se secaban al calor del sol. Ese tipo de escritura se conoce con el nombre de escritura cuneiforme, debido a la forma de cada una de las señales individuales. Los documentos en cuneiforme presentan un alto grado de permanencia y a ello se debe el que se hayan conservado muchos miles de estas tablillas desde la antigüedad, y de ella muchas datan de hacer unos 4.000. 2.- El sistema de notación jeroglífica. Los documentos egipcios tuvieron en cambio más suerte que los babilonios en cierto sentido, ya que la piedra de Rosetta, trilingüe también y que jugó un papel análogo al que desempeñaría más tarde el Behistum Cliff, había sido descubierta ya en 1799 durante la expedición napoleónica a Egipto. El sistema de numeración jeroglífico egipcio fue descifrado fácilmente; el principio en que se basa, tan antiguo como las pirámides por lo menos, data de hace unos 5.000 años y está estructurado, como podía esperarse, en una escala numérica de base 10. Utilizando un sencillo esquema iterativo y con ayuda de un conjunto de símbolos distintos para cada una de las primeras media docena de potencia de diez, pueden tallarse en piedra, madera u otros materiales los nombres correspondientes a números mayores que un millón. La inscripciones egipcias nos revelan una sorprendente familiaridad con números grandes desde una fecha muy antigua; por ejemplo, en un museo de Oxford se conserva una maza real de hace más de 5.000 años, en la que aparece registrado un numero de 120.000 prisioneros y de 1.422.000 cabras capturadas. Estos números pueden estar muy exagerados por razones de prestigio político, pero por otras consideraciones resulta claro, sin embargo, que los egipcios solían ser notablemente exactos al contar y medir. Las pirámides muestran un grado tan elevado de precisión, tanto en su construcción misma como en su orientación, que en torno a ellas se han desarrollado leyendas infundadas. Los egipcios se interesaron muy pronto por la astronomía y observaron que la inundación anual del valle del Nilo tenía un lugar poco después de la llamada salida heliacal del sirio, el heraldo de la crecida, estaban separados por 365 días, consiguieron establecer los egipcios un buen calendario solar que costaba de doce meses de treinta días cada uno y de cinco días festivos extra. 3.- El papiro de Ahmes. Este papiro fue comprobado en858 en una ciudad comercial del Nilo por un anticuario escocés, Henry Rhind, de donde deriva el nombre papiro de Rhind con que se le conoce usualmente o, no tan a menudo como el papiro de Ahmes, en honor del describa que lo copió hacia el 1650 a.C. Este escriba nos dice que el material se deriva de un prototipo del imperio medio, de entre el 2000 y el 1800 a.C., y es posible que parte de estos conocimientos provengan en realidad del Imhotep, el casi legendario arquitecto y médico del faraón Zoser, que dirigió la construcción de su pirámide hace casi 5.000 años. En cualquier caso la matemática egipcia parece haberse estancado durante unos 2.000 años después de unos comienzos prometedores. Tanto los numerales como el resto del material que aparece en el papiro de Rhind no están escritos en la forma jeroglífica que hemos visto más arriba, sino en una escritura más cursiva, que se adapta mejor al uso del pincel y a tinta sobre las hojas del papiro previamente tratadas, escritura que se conocen como hierática, para distinguirla de la forma aún posteriormente llamada escritura demótica o popular. 4.- Las fracciones unitarias. En las inscripciones jeroglíficas egipcias nos encontramos, en el efecto, con una notación especial para las fracciones unitarias, es decir, para las fracciones que tiene como numerador la unidad. Lo que nosotros llamamos el inverso de un numero natural se representa colocando simplemente sobre la expresión que designaba a este número un signo oval alargado. 5.- Las operaciones aritméticas. La operación aritmética fundamental en Egipto era la suma, y nuestras operaciones de multiplicación y división se hacían en la época de Ahmes por sucesivas “duplicaciones” o “mediaciones”. Muchos de los problemas de Ahmes muestran un conocimiento de la manipulación de producciones equivalentes a lo que se suele llamar una regla de tres. 6.- Problemas algebraicos. Los problemas egipcios los podemos clasificar como aritméticos, pero hay otros que caen dentro de un grupo al que puede aplicársele con propiedades el nombre algebraicos. Estos últimos no se refieren a objetos concretos y específicos, ni tampoco piden el resultado de operaciones con números conocidos, sino que piden lo equivalente a resolver ecuaciones lineales. 7.- Problemas geométricos. Un defecto importante en la geometría radica en la falta de una distinción clara y precisa entre las relaciones que son exactas y las que son solo aproximadas, una escritura de contrato procedente de Edfu que ha llegado hasta nosotros y que data un periodo posterior a Ahmes en unos 1.500 años, nos ofrece ejemplos de áreas de triángulos, trapezoides, rectángulos y otros cuadriláteros más generales; la regla para calcular el área de un cuadrilátero cualquiera consiste en tomar el producto de las medidas aritméticas de los pares de lados opuestos. El método egipcio para hallar el área del círculo se ha venido considerando desde hace mucho tiempo como uno de los progresos más notables de la época. En la matemática egipcia no nos encontramos con ningún teorema ni demostración formal, pero lo que sí es cierto es que algunas de las comparaciones geométricas que se hicieron en el valle del Nilo, tales como las que se refieren a las áreas, perímetros de circulo y cuadrados que hemos visto, están entre las primeras propiedades exactas relativas a figuras curvilíneas que se han formulado a lo largo de la historia. 8.- Una razón trigonométrica. En la tecnología moderna se acostumbra medir la pendiente de una línea recta por medio de la razón entre la subida y el avance; en Egipto, en cambio, se solía utilizar la inversa de esta horizontal de una recta oblicua del eje vertical por unidad de variación en la altura. La unidad de longitud que usaban los egipcio para medir en vertical era el codo, mientras que al medir distancias horizontales utilizaban la mano, de las que había siete en un codo. Como hemos mencionado ya, hay muchas leyendas sobre presuntas relaciones geométricas entre las distintas dimensiones de la gran pirámide, algunas de las cuales son obviamente falsas. 9.- El papiro de Moscú La mayor parte de nuestra información acerca de la matemática egipcia proviene del papiro de Ahmes o de Rhind, el documento matemático más extenso que nos ha llegado del antiguo Egipto, pero disponemos además de otras fuentes. Aparte del papiro de Kahun ya mencionado, hay un papiro de Berlín del mismo período, dos tablillas de madera de Akhmin de hacia el 2.000 a.C. un rollo de piel que contiene listas de fracciones unitarias y que data del final del período de los Hyksos, y otro importante papiro conocido por el nombre de papiro Golenischev o de Moscú, que fue comprado en Egipto en el año 1893. El papiro de Moscú es casi tan largo como el papiro Rhind, cerca de siete metros, pero su anchura es sólo la cuarta parte, unos siete centímetros y medio; está escrito por un escriba desconocido de la dinastía XLL de una manera más descuidada que la obra de Ahmes, y contiene veinticinco problemas resueltos, la mayor parte de ellos de la vida corriente y que no se diferencian muchos de los de Ahmes excepto en dos casos que tienen una importancia especial. 10.- Las deficiencias de la matemática egipcia. Durante muchos años se dio por descontado que los griegos habían aprendido los rudimentos de su geometría de los egipcios, y concretamente Aristóteles pensaba que la geometría había surgido en el valle del Nilo debido a que allí los sacerdotes disponían del ocio necesario para desarrollar cualquier conocimiento teórico. Es muy probable que los griegos tomaran prestadas algunas partes de la matemática elemental de Egipto, ya que, por ejemplo, el uso de las fracciones unitarias fue persistente en Grecia y Roma, para llegar hasta el periodo medieval, pero evidentemente los griegos exageraron su deuda para con los egipcios, en parte sin duda por su respeto casi reverencial a la antigüedad de la cultura egipcia. El tipo de conocimiento que nos revelan los papiros de egipcios que han llegado hasta nosotros es en su mayor parte de carácter práctico, y el elemento principal en todas las cuestiones es el cálculo numérico. Los papiros de Ahmes y de Moscú, nuestras dos principales fuentes de información pudieron haber sido en su día únicamente manuales destinados a la formación de los estudiantes, pero de paso indican inevitablemente la dirección y las tendencias de la educación matemática egipcia; la evidencia adicional obtenida de las inscripciones en los monumentos, de fragmentos de otros papiros matemáticos y de documentos que se refieren a otros campos científicos próximos nos sirven sólo para confirmar la impresión general sacada de las fuentes principales. La geometría pudo haber sido un regalo del Nilo, como creía Herodoto, pero los egipcios sacaron poco partido del regalo; en realidad, la matemática de Ahmes era la misma que la de sus antepasados y las de sus descendientes. Para ponernos en contacto con una matemática cuyos logros acusan más las señales del progreso, tenemos que dirigir nuestra mirada a otro valle, éste más turbulento, conocido de manera genérica como Mesopotamia. Mesopotamia. 1.- Los documentos cuneiformes. El cuarto milenio antes de nuestra era fue un periodo de gran desarrollo cultural, que trajo consigo el uso de la escritura, de la rueda y de los metales. Al igual que en Egipto durante la primera dinastía, que comenzó hacia finales de este maravilloso milenio, también en el valle de Mesopotamia había ya por esa época un alto nivel de civilizaciones. El modelo de escritura cuneiforme que habían desarrollado los sumerios durante el cuarto milenio, mucho antes de los días de Abraham, puede haber sido la primera forma de comunicación escrita, puesto que es probablemente anterior a la escritura jeroglífica egipcia, que pudo haberse derivado de ella. Las civilizaciones mesopotámicas de la antigüedad suelen llamarse de una manera ambigua y genérica babilónica, a pesar de que tal designación no es estrictamente correcta. La ciudad de babilonia ni fue al principio ni tampoco fue siempre, en periodos posteriores, el centro de la cultura asociada con los dos ríos, por lo cierto es que el uso ha sancionado el adjetivo convencional e informal de babilónica para la región durante el intervalo que va desde el 2000. A.C. hasta aproximadamente el 600 a.C. Una de las invasiones más importantes que tuvo lugar fue la de los acadios semitas mandados por Sargón el Grande, quien estableció un imperio que se extendía desde el golfo Pérsico al sur hasta el Mar Negro por el Norte, y desde las estepas de Persia en el Este el Mar Mediterráneo por el Oeste. Bajo el reinado de Sargón comenzó un proceso gradual de absorción de la cultura indígena sumeria por los invasores, incluyendo la escritura cuneiforme. 2.- La numeración posicional. El sistema de numeración cuneiforme de los babilonios procedía, para los números enteros pequeños, según el mismo esquema que la jeroglífica egipcia, repitiendo tantas veces como fuese necesario los símbolos para el 1 y para el 10 y, al igual que un arquitecto egipcio podía hacer tallar en la piedra el numero 59, el escriba mesopotámico podía representar el mismo número y de manera casi idéntica sobre una tablilla de arcilla por medio de catorce señales en forma de cuña, de ellas cinco anchas y colocadas oblicuamente, en forma de paréntesis angulares, cada una de las cuales representaba diez unidades, y nueve cuñas verticales estrechas que representaba cada una, una unidad. Las cuñas que componen la expresión cuneiforme para el 59 están agrupada estrechamente de manera que forman casi un único símbolo, de forma que espaciando adecuadamente estos grupos de cuñas se pueden determinar sin ambigüedad la posición relativa, al leer de derecha a izquierda, que corresponde a las sucesivas potencias crecientes de la base, y así cada grupo tendrá entonces un valor local que dependerá solamente de su posición, cuando escribimos 222 usamos tres veces la misma cifra 2, pero cada una de ellas tiene un significado distinto; el primero por la derecha representa dos unidades, el segundo dos desenas y el tercero dos centenas, es decir, dos veces el cuadrado de la base diez. De una manera exactamente análoga hacían los babilonios un uso múltiple de símbolos. Disponemos de una gran cantidad de documentación primaria relativa a la matemática mesopotámica, pero es notable que la mayor parte de este material proviene de dos periodos distintos muy separados en el tiempo. Hay una gran abundancia de tablillas de los primeros siglos del segundo milenio a.C. (época babilónica antigua) y también hay muchas de los últimos siglos del primer milenio a.C. La mayor parte de las contribuciones importantes a la matemática se remontan al primer periodo, el más antiguo, pero hay una concreta de la que no tenemos ninguna evidencia hasta casi el 300 a.C. Los babilonios no parecen haber sido capaces, al principio, de inventar una manera clara de representar una posición vacía en un numeral, es decir, no dispusieron de un símbolo para el cero en su sentido no cardinal sino posicional. 3.- Las fracciones sexagesimales. Si la matemática mesopotámica hubiera estado basada en la suma de números enteros y de fracciones unitarias, como lo estuvo la del Nilo, el invento de la notación posicional no habría tenido una gran importancia para la época, ya que no es mucho más difícil escribir el número 98.765 en jeroglífico que en cuneiforme y, desde luego escribirlo en cuneiforme resulta claramente más complicado que en escritura hierática. El secreto de la superioridad evidente de la aritmética y el algebra babilónica sobre la egipcia se basa indudablemente en que aquellos que vivían entre los dos ríos tuvieron la feliz idea, difícil de ponderar adecuadamente, de extender el principio posicional a las fracciones. Esto significa que los babilonios tenían su disposición toda la capacidad y simplicidad de cálculo que nos permiten hoy a nosotros las fracciones decimales modernas. 4.- Las operaciones fundamentales. La eficacia de los babilonios calculando no era consecuencia únicamente de su sistema de numeración, sino que los matemáticos mesopotámicos se mostraron además extremadamente hábiles inventando métodos algorítmicos, tales como el algoritmo para aproximar raíces cuadradas que se ha atribuido posteriormente a los diversos matemáticos, entre ellos los griegos Arquitas (428-365 a.C) y Herón de Alejandría (ca. 100 d.C), y también se encuentra a veces bajo el nombre de algoritmo de Newton. A pesar de la eficiencia de esta regla para el cálculo de raíces cuadradas, los escribas mesopotámicos parecen haber preferido imitar al matemático aplicado moderno, recurriendo frecuentemente a las diversas y abundantes tablas de que disponían. De hecho, una parte importante del conjunto de tablillas cuneiforme que se han desenterrado son tablas, entre las que se incluyen tablas de multiplicar, tablas de inversos, tablas de cuadrados y cubos o de raíces cuadradas y cubicas escritas, desde luego en el sistema sexagesimal cuneiforme. Está claro que los babilonios manejaban las operaciones aritméticas fundamentales de una manera no muy distinta a como las utilizamos hoy y con una finalidad comparable. La división no se hacía por el pesado método de duplicaciones y mediación de los egipcios, sino mediante una simple multiplicación del dividendo por el inverso del divisor. Usando para ello una tabla de inversos. Las tablas de inversos solían dar solamente, los inversos de los enteros regulares. 5.- Problemas algebraicos. El algebra egipcia se había centrado casi exclusivamente en las ecuaciones lineales, pero los babilonios las consideraron demasiado elementales como para prestarles mucha atención. En otro problema que aparece en un texto de la época babilónica antigua nos encontramos con un sistema de dos ecuaciones lineales simultáneas en dos incógnitas llamadas respectivamente el primer anillo de plata y el segundo anillo de plata. 6.- Las ecuaciones cuadráticas. La resolución de las ecuaciones cuadráticas completas parece haber separado en mucho la capacidad algebraica de los egipcios; en cambio. Neugebauer descubrió en 930 que tales ecuaciones habían sido manejadas ya con gran soltura por los babilonios en algunos de los textos más antiguos que conocemos. Los problemas en los que se pide hallar dos números dados su producto y, o bien su suma o su diferencia, son tan abundante que parecen haber constituido para los antiguos, tanto babilónicos como griegos, algo así como un tipo de forma normal, al que podían reducirse las ecuaciones cuadráticas. 7.- Ecuaciones cubicas. Muestra el alto grado de flexibilidad que alcanzo el algebra mesopotámica, circunstancia que unida al sistema de computación posicional explica en gran parte la superioridad de la matemática babilónica sobre la egipcia en este sentido. En Egipto no hay ningún testimonio de resolución de ecuaciones cúbicas. La resolución de las ecuaciones cubicas y cuadráticas en Mesopotamia constituyó un logro notable que hay que admirar no tanto por el alto nivel de habilidad técnica puesta en juego como por el nivel de madurez y de flexibilidad de los conceptos algebraicos que invierten en el proceso. 8.- Las ternas pitagóricas. Los descubrimientos algebraicos de los babilonios son dignos de admiración, peros los motivos que pudiera haber tras ellos no son fáciles de entender. Se suele admitir toda la matemática y la ciencia prehelénica en general fueron completamente utilitarias, si el motivo era utilitario, admitámoslo, entonces hay que admitir también que el culto a lo inmediato no era tan fuerte como lo es hoy, puesto que las conexiones directas entre los fines y la practica están lejos de ser evidentes en la matemática babilónicas. Algunos documentos, como la tablilla 322 de la selección Plimpton de la universidad de Colombia siguieren que pudo muy bien haber existido una cierta tolerancia, si no un estimulo, hacia la matemática cultivada por sí misma. La tablilla data del periodo babilónico antiguo (ca. 1900 a 1600 a.C), y las tablas que contiene se podrían tomar fácilmente a primera vista por registros de cuentas comerciales, pero un análisis más detallado muestra que tiene una importancia matemática mucho más profunda en relación con lo que puede considerarse como teoría de números, y que tiene que ver quizá también con una cierta forma de prototrigonometria. La Plimpton 322 es sólo es sólo una parte de una tablilla mas grande, como se ve por la fractura a lo largo del borde izquierdo, y la parte que se conserva contiene cuatro columnas de números distribuidos en quince filas horizontales, y la columna del extremo derecho contiene dos dígitos de uno a quince, y su finalidad parece ser evidentemente sólo la de identificar el lugar en que figuran los números en las otras tres columnas Jonia y los pitagóricos. 1.- Los orígenes del mundo griego. La actividad intelectual de las civilizaciones potámicas que se desarrollaron en Egipto y Mesopotamia ya había perdido impulso mucho antes de que comenzase la era cristiana, pero al mismo tiempo que declinaba el saber en los valles de los grandes ríos, y a la vez que el bronce iba descendiendo su lugar al hierro en la fabricación de armas, comenzaron a surgir vigorosamente nuevas culturas a todo lo largo de las costas del mar Mediterráneo. Para indicar este cambio en los principales centros de civilización, al periodo que va más o menos desde el 800 a.C al 800 d.C se le denomina a veces como la edad Talástica es decir como la edad del mar. Los escribas egipcios y babilonios continuaron produciendo papiros y textos cuneiformes durante muchos siglos después del año 800 a.C, pero mientras tanto ya se estaba preparando, y rápidamente por cierto una nueva civilización para tomar en sus manos la antorcha de la hegemonía cultural, no sólo en torno al Mediterráneo, sino también finalmente en los mismos valles de los grandes ríos. Los griegos actuales aún siguen llamándose a si mismo helenos, continuando así la tradición del nombre utilizado por sus lejanos antepasados que se establecieron a llo largo de las costas del Mediterráneo. La historia de los griegos se remonta al segundo milenio a.C. cuando procedentes del Norte, presionaron implacablemente como invasores desprovistos de cultura alguna; no llevaban consigo ninguna tradición matemática ni literaria, sin embargo parecen haberse mostrado ansiosos de aprender, y no les llevo mucho tiempo el mejorar aquello que les había enseñado. 2.- Tales de Mileto. Lo que se sabe realmente de la vida y la obra de tales es bien poco. Las fechas de su nacimiento y su muerte se calculan a partir del hecho de que el eclipse del año 585 a.C. probablemente ocurrió cuando Tales estaba en la flor de la edad, digamos que alrededor de los cuarenta años, y de que al parecer a su muerte tenia setenta y ocho años. Sin embargo las serias dudas que se tienen acerca de la autenticidad de la historia del eclipse hacen que estas extrapolaciones sean arriesgadas, y debilitan nuestra confianza acerca de los descubrimientos atribuidos a Tales. La opinión antigua es únicamente considerar a Tales como un hombre excepcionalmente inteligente y como el primer filósofo, el primero de los siete sabios griegos y de los caldeos. La proposición que ahora conocemos como teorema de Tales, es decir, la de que un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto, muy bien la pudo aprender Tales durante sus viajes a babilonia, pero la tradición va más lejos, no obstante, y le atribuye algún tipo de demostración de este teorema. Por este motivo se ha aclamado a Tales frecuentemente como el primer matemático auténtico, es decir, como el padre de la organización deductiva de la geometría. Esta tradición o leyenda se vio adornada al añadirse a este teorema otros cuatro de los que también se dice que fueron demostrados por Tales. 1.- todo circulo queda dividido en dos partes iguales por un diámetro. 2.- los ángulos básicos en un triangulo isósceles son iguales. 3.-los ángulos opuestos por el vértice que se forman al cortarse dos rectas, son iguales. 4.-si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son respectivamente iguales a dos ángulos y un lado del otro, entonces los dos triángulos son congruentes. 3.- Pitágoras de Samos. Pitágoras es una figura a duras penas menos controvertida que Tales, puesto que se vio envuelta aún más a fondo por la leyenda y por una especie de culto casi religioso. Tales se había dedicado a asuntos de la vida práctica, mientras que Pitágoras fue más bien una especie de profeta y de místico nacido en Samos, una de las islas del Dodecaneso próximo a Mileto, la patria de Tales. A pesar de que algunas historias nos presentan a Pitágoras como discípulo de Tales, es improbable que se diera tal circunstancia en vista del medio siglo aproximadamente de diferencias de edades. Que sus intereses eran parecidos en algún sentido se deduce fácilmente del hecho de que Pitágoras también viajó a Egipto y babilonia, e incluso posiblemente a la india; durante estas largas peregrinaciones debió asimilar evidentemente no sólo conocimientos matemáticos y astronómicos, sino también mucho bagaje religioso. Dicho sea de paso, Pitágoras fue casi exactamente contemporáneo de Buda, de Confucio y de Lao-Tse, de manera que su siglo constituyó una época critica en el desarrollo de la religión tanto como en el de la matemática. A su regreso al mundo griego Pitágoras se estableció en Crotona en la costa sudeste de lo que hoy es Italia, pero en aquella época era conocida como la Magna Grecia; allí fundó una sociedad secreta que se parecía algo a un culto órfico, excepto por sus bases matemáticas y filosóficas. El hecho de que Pitágoras haya quedado para nosotros como una figura tan oscura es debido en parte a la pérdida de documentos de la época, porque sabemos que en la antigüedad se escribieron varias biografías de Pitágoras, incluida una por Aristóteles, pero todas ellas se han perdido. 4.- El pentagrama pitagórico. Se dice que el lema de la escuela pitagórica era el de todo es número. Si recordamos que los babilonios habían asociado ya medidas numéricas a las cosas que los rodeaban, desde los movimientos de los cielos al valor de sus esclavos, podemos percibir en este lema pitagórico una fuerte afinidad mesopotámica. El mismo teorema al que aun sigue asociado el nombre de Pitágoras procede de los babilonios con toda probabilidad; se ha surgido, como justificación del nombre de Teorema de Pitágoras, que los pitagóricos fueron primeros en dar una demostración, pero esta conjetura no la podemos comprobar. Las leyendas que aseguran que Pitágoras sacrifico un buey o cien bueyes, según otras versiones al descubrir el teorema o su demostración, son completamente inverosímiles en vista de las reglas vegetarianas de la escuela, y además se repiten con el mismo carácter increíble en conexión con varios otros teoremas. Es muy razonable suponer que los primeros miembros de la escuela pitagórica estuvieron familiarizados con las propiedades geométricas que conocían los babilonios, pero cuando en el sumario de Eudemo-Proclo se les atribuye la construcción de las figuras cósmicas es decir, de los poliedros regulares, hay razones para dudarlo. El cubo, el octaedro y el dodecaedro etrusco de piedra cerca de Padua, que data de antes del 500 a.C; no es en absoluto improbable, por lo tanto, que los pitagóricos conocieran algunas de las propiedades del pentágono regular, incluso aunque no tuvieran noticia de la existencia del octaedro y del icosaedro. La figura de la estrella de cinco puntas que se forma al trazar las cinco diagonales de una cara pentagonal de un dodecaedro regular, parece haber sido una especie de símbolo de la escuela pitagórica, y es el pentágono estrellado ya había aparecido anteriormente en el arte babilónico, y es posible que también aquí nos encontremos con un lazo de conexión entre la matemática prehelénica y la pitagórica. 5.- el misticismo numérico. Se ha solido mantener el punto de vista de que la mayor parte del material que aparece en los dos primeros libros de los elementos se debe a los pitagóricos, lo que supondría un alto grado de madurez, que implica a su vez un desarrollo muy rápido de la matemática a partir de la época de Tales y de Pitágoras. Este punto de vista exige un acto de fe en los que se ha venido llamado el milagro griego, según el cual unos recién llegados a la escena mediterránea, de escaso nivel cultural, dominaron el material heredado de sus vecinos y lo elevaron rápidamente a cotas más altas, estableciendo de paso el marco esencialmente deductivo para los problemas. Un punto único es el generador de las dimensiones, dos puntos determinan una recta de dimensión uno, tres puntos no alineados determinan un triangulo o área de dimensión dos, y cuatro puntos no coplanarios determinan tetraedro o volumen de dimensión tres, y por tanto la suma de los números que representan todas las dimensiones es el venerado números diez. 6.- Aritmética y Cosmología. La geometría mesopotámica no había sido mucho más que el número aplicado a la extensión especial. Parece que al principio debería haber sido casi lo mismo con los pitagóricos, pero hay una modificación importante. En Egipto el dominio numérico había incluido los números naturales y las fracciones unitarias; entre los babilonios había incluido el campo de todas las fracciones racionales, mientras que en Grecia la palabra número se usaba solo para los enteros positivos. A las fracciones no se les consideraba como entidades únicas, sino como una razón o relación entre dos números enteros, y así la matemática griega de los primeros tiempos venia a estar más frecuentemente aproximada a la matemática moderna de hoy que la aritmética usual hace unas generaciones La época heroica. 1.- Centros de actividad. La historia de los orígenes de la matemática griega se tiene que centrar necesariamente en las escuelas jónicas y pitagóricas, y en las representantes principales de cada una de ellas, Tales y Pitágoras, aunque la reconstrucción de su pensamiento se basa solamente en información fragmentaria y en tradiciones elaboradas durante los siglos posteriores. En cierta medida la situación continua siendo la misma a lo largo del siglo V a.C. no nos ha quedado prácticamente ningún documento matemático, ni científicos en general, anterior a la época de Platón en el siglo lV a.C. sin embargo, durante la segunda mitad del siglo V circularon persistentemente informaciones bastantes coherentes relativas a un pequeño grupo de matemáticos que, según toda evidencia, estaba profundamente interesados en algunos problemas que fueron la base de la mayor parte de los desarrollos posteriores de la geometría. Por lo tanto, nos referimos a este periodo bajo el nombre de la época Heroica de las matemáticas, puesto que raramente antes ni después se ha enfrentado el hombre con problemas matemáticos de una importancia tan fundamental con tan pocas herramientas. La actividad matemática ya no se centro como antes de una manera casi exclusiva en aquellas dos regiones que constituían más o menos los limites opuestos del mundo griego, sino que floreció a lo largo y a lo anche del mediterráneo. 2.- Anaxágoras de Clazomene. El siglo V a.C constituyó un periodo crucial en la historia de la civilización del mundo occidental, ya que se inició con la derrota de los invasores persas de Grecia y se cierra con la victoria de Esparta sobre Atenas. Entre estos dos sucesos memorables se desarrollo la esplendorosa Época de Pericles, con su apogeo literario y artístico. La prosperidad y la atmosfera intelectual de Atenas durante la mayor parte de este siglo contribuyeron a atraer a pensadores de todas partes del mundo griego, se logro de esta manera una especie de síntesis de diversas tendencias. Anaxágoras fue maestro de Pericles que consiguió al fin que su mentor fuera liberado de la cárcel. Sócrates se vio atraído en su juventud por las ideas científicas de Anaxágoras pero el tábano ateniense encontró al fin menos satisfactorio la concepción naturalista jónica que la búsqueda de las verdades éticas. Plutarco nos cuenta que Anaxágoras, mientras estaba en prisión, se ocupo del problema de la cuadratura del círculo, y aquí nos encontramos con la primera mención de un problema que iba a fascinar a los matemáticos durante más de 2.000 años. No tenemos más detalles relativos al origen del problema ni a las reglas que lo seguían, pero algo más tarde se sobre entendía ya que el cuadrado buscado, de área exactamente igual a la del circulo, había de ser construido a regla y compas únicamente. 3.-Los tres problemas clásicos. Anaxágoras murió el año 428 a.C., el mismo año nacía arquitas, exactamente un año antes del nacimiento de Platón y un año después de la muerte de Pericles. Se dice que Pericles murió de la peste que se llevó quizá como una cuarta parte de la población ateniense, y la profunda impresión que produjo estas catástrofes fue probablemente el origen de un segundo problema matemático. Según las informaciones que nos han llegado, se envió una delegación al oráculo de Apolo en Delos para preguntar cómo podrá conjurarse la peste, a lo que el oráculo contesto que era necesario duplicar el altar cúbico dedicado a Apolo. 4.- La cuadraturas de las lúnulas. Hipócrates de Chíos era algo más joven que Anaxágoras y provenía de la misma parte aproximadamente del mundo griego. Este Hipócrates no debe confundirse con sus contemporáneos más famoso, el médico Hipócrates de Cos; tanto Cos como Chíos son islas del archipiélago del Dodecaneso, pero Hipócrates de Chíos abandonó hacia el 430 a.C su patria para trasladarse a Atenas en su condición de mercader. Según nos cuenta Aristóteles, Hipócrates se mostró menos hábil que Tales y perdió si dinero en Bizancio por un fraude, aunque otros dices que fue atacados y robados por los piratas. En cualquier caso la victima nunca lamento más tarde el incidente, considerándolo más bien como una suerte, ´porque a consecuencia de él se dedico al estudio de la geometría. El teorema de Hipócrates sobre los círculos y los cuadrados circunscritos parece ser la primera afirmación precisa sobre la medida de figuras curvilíneas en el mundo griego. A partir de su teorema sobre los círculos consiguió fácilmente Hipócrates la primera cuadratura rigorosa de una figura curvilínea en la historia de la matemática. Comenzó con un semicírculo circunscrito a un triangulo rectángulo isósceles y sobre la base la hipotenusa construyó un segmento circular semejante a los segmentos circulares determinados por los catetos del triangulo rectángulo. Como los segmentos son entre sí como los cuadrados construidos sobre sus bases, a partir del teorema de Pitágoras aplicado al triangulo rectángulos. 5.- Las proporciones continuas. Las cuadraturas de Hipócrates tiene una gran importancia, no tanto como intentos dirigidos a la cuadratura del círculo cuanto como refleja del nivel de la matemática de la época, ya nos muestra hasta qué punto denominaban los matemáticos atenienses de la época las trasformaciones de áreas y proporciones. Hay tres interpretaciones distintas de las consecuencias que debió sacar Hipócrates de sus cuadraturas de las lúnulas. Algunos lo han acusado de creer que conocía perfectamente las limitaciones que podía tener su obra, dado que solo consideraba algunos tipos de lúnulas muy concretos y hay por ultimo al menos un historiador que han sostenido que Hipócrates sabía muy bien que no había conseguido cuadrar el círculo. Porque intento engañar a su conciudadanos haciéndoles creer que lo había logrado. 6.- Hipias de Ellis. Durante la segunda mitad del siglo V a.C floreció en Atenas un grupo de maestros profesionales muy distintos de los pitagóricos. A los discípulos de Pitágoras les había sido prohibido aceptar ningún tipo de pago por compartir sus conocimientos con los demás, mientras que los sofistas, que así se llamaban estos maestros, se ganaban la vida abiertamente enseñando a sus conciudadanos, y no sólo en cuestiones intelectualmente honradas, sino también en el arte de hacer que lo peor parezca lo mejor. La curva de Hipias se la suele conocer también como la cuadratriz, dado que se puede ser utilizada además para cuadrar el círculo. Es imposible para nosotros decidir si Hipias mismo era conscientes o no de esta aplicación, algunos historiadores han conjeturados que Hipias sí conocía este método de cuadratura, pero que no fue capaz de justificarlo, y como esta misma cuadratura por medio de la curva de Hipias fue dada más tarde y de una manera detallada por Dinostrato. 7.- Filolao y Arquitas de Tarento. Se dice que Pitágoras se retiró a Metaponto hacia el final de su vida y que murió allí en torno al año 500 a.C la tradición sostiene que no dejó ninguna obra escrita, pero sus ideas fueron divulgadas por un gran número de discípulos fervorosos. El centro inicial del grupo en Crotona tuvo que ser abandonado cuando un grupo político rival de Sibaris sorprendió y asesinó a muchos de los dirigentes, pero lo que consiguieron escapar la masacres llevaron consigo las doctrinas de la escuela a otras regiones del mundo griego. Entre los que recibieron instrucciones de estos refugiados estaba Filolao de Tarento, a quien atribuye el haber escrito la primera exposición del pitagorismo, para lo cual habían conseguidos permisos al fin, según cuentan las historias, con objetos de que pudieran restaurar sus fortunas perdidas. La secta pitagórica había ejercido una fuerte influencia intelectual sobre toda la Magna Grecia, en la que se mezclaban aspectos políticos que podían caracterizarse en terminología moderna como propio de una especie de internacional reaccionaria, o quizá mejor como un cruce entre orfismo y francmasonería. Arquitas continuó dentro de la más pura tradición pitagórica al situar la aritmética por encima de la geometría, pero su entusiasmo por los números tenía ya menos de la componente religiosa y mística que nos hemos encontrado antes en Filolao. Arquitas escribió sobre las aplicaciones de las medias aritmética, geométrica y subcontraria a la música, y probablemente fue Filolao o Arquitas el responsable del cambio del cambio del nombre de esta ultima al de media armónica entre sus afirmaciones en este contexto estaba la observación de que entre dos números enteros que estén en la razón n:(n+1) no puede haber ningún entero que sea su media geométrica. 8.- La duplicación del cubo. Es muy probable que Arquitas tuviera acceso a algún tratado anterior sobre los elementos de la matemática y, de hecho, el proceso interactivo para el cálculo de raíces cuadradas que se conocen a veces con el nombre de Arquitas había sido utilizado mucho antes en Mesopotamia. No obstante, sabemos que a Arquitas se le deben también algunos resultados originales importantes. Su contribución más sorprendente fue, sin duda, una solución tridimensional del problema de Delos, que se puede explicar e l manera más fácil, aunque sea muy anacrónicamente desde luego, utilizando el lenguaje de la geometría analítica moderna. El éxito de Arquitas nos parece aún más impresionante si tenemos en cuenta que consiguió su solución de manera sintética, sin ayuda de coordenadas. Sin embargo, la contribución más importante de Arquitas a la matemática puede haber sido su intervención ante el tirano Dionisio para salvarle la vida a su amigo Platón; este último permaneció durante toda su vida profundamente afectado por la veneración pitagórica por los números y la geometría, y la supremacía de Atenas en el mundo matemático del siglo lV. a.C. se derivo principalmente del entusiasmo de Platón, el hacedor de matemáticos. 9.- Los inconmensurables. Unos de los principios fundamentales del pitagorismo era el de que la esencia de todas las cosas, tanto en la geometría como en los asuntos teóricos y prácticos del hombre, es explicable en términos de arithmos, es decir, de propiedades intrínsecas de los números naturales y de sus razones. Sin embargo las diagonales de Platón nos informan de que la comunidad matemática griega se vio grandemente sorprendida por un descubrimiento que prácticamente demolía las bases de la fe pitagórica en los números enteros. Este descubrimiento fue el de que incluso dentro de la geometría misma los números naturales y sus razones resultaban inadecuados para dar cuentas de algunas propiedades fundamentales, incluso muy sencillas; no bastaban, por ejemplo, para comparar la diagonal de un cuadrado, de un cubo, o de un pentágono regular con su lado o arista respectivamente. Tales parejas de segmentos son inconmensurables, por muy pequeña que sea la unidad de medida elegida. Las circunstancia que rodearon al primer reconocimiento de la existencia de los segmentos inconmensurables son tan aseguras como la fecha en que se hizo el descubrimiento. Se suele admitir que este reconocimiento tuvo lugar en conexión con la aplicación del teorema de Pitágoras al triangulo rectángulo isósceles, y Aristóteles menciona una demostración de la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con respecto al lado, indicado que se basa en la distinción entre lo par y lo impar. La época de platon y aristoteles. 1.- Las siete artes liberales. La época Heroica se extiende a lo largo de la última parte del siglo V a.C. y, como hemos visto, de ese periodo queda poco que pueda servir como evidencia directa de la evolución de la matemática. La historia de Heredoto y de Tucidides y las obras dramáticas de Esquilo, de Eurípides y de Aristofanes han sobre vivido en parte, pero apenas conservan una línea de lo que escribieron los matemáticos de la época. Los documentos matemáticos de la primera mano que proceden del siglo lV a.C. son casi tan escasos, pero esta escasez se compensa en gran medida por la informaciones procedentes de los filósofos que estaban aucourant de la matemática de su época. Nos ha llegado la mayor parte de las obras de Platón y la mitad aproximadamente de las obras de Aristóteles; guiándonos por los escritos de estos dos líderes intelectuales del siglo lV a.C. podemos presentar una exposición mucho más segura de lo que ocurrió en su día, que no la que pudimos reconstruir de la época Heroica. Las siete artes liberales, que permanecieron como un leimotiv durante casi dos milenios, estaban construidas por el cuadrivium de Arquitas y el trívium formado por la gramática, la retorica y la dialéctica de Zenón. A si pues se puede decir con justicia que los matematicos de la época Heroica fueron en gran medida los responsables de la dirección que tomaron las tradiciones educativas occidentales, especialmente tal como fueron transmitidas por los grandes filósofos del siglo lV a.C. 2- Sócrates. El siglo lV a.C. se abre con la muerte de Sócrates, un filósofo que adopto el método dialectico de Zenón y rechazó en cambio el pitagorismo de Arquitas. Sócrates reconocía que en su juventud se había visto atraído por cuestiones tales como por qué la suma 2+2 era igual al producto 2.2, y también por filosofía natural de Anaxágoras, pero cuando se convenció de que ni la matemática ni la ciencia en general podían llegar a satisfacer su deseo de conocer la esencia de las cosas, se entrego únicamente a la búsqueda del bien, que lo iba a caracterizar definitivamente. 3.- Los sólidos platónicos. Estos seis matemáticos ya no estuvieron diseminados por todo el mundo griego como había ocurrido con los del siglo V. a.C., sino que estuvieron asociados más o menos estrechamente a la Académica de Platón de Atenas. A pesar de que Platón no hizo por si mismo ninguna contribución especifica excepcional en lo que se refiere a los resultados matemáticos de tipo técnico, fue, sin embargo, el verdadero centro de la actividad matemática de la época e inspiro y dirigió personalmente su desarrollo. Se dice que sobre las puertas de su escuela estaba escrito un lema: No entre aquí nadie que ignore la geometría, y efectivamente, su entusiasmo por esta materia lo llevo s ser conocido no como matemático, sino como hacedor de matemáticos. Parece bastante claro que el alto aprecio que tenia Platón por la matemática no provenía de Sócrates; de hecho, los primeros diálogos platónicos raramente se refería a la matemática. El que convirtió a platón a un punto de vista matemático fue sin duda Arquitas, amigo suyo al que visito en Sicilia el año 388 a.C 4.-Teodoro de Cirene. El dialogo que escribió platón en memoria de su amigo Teeteto contiene además información sobre otro matemático al que admiraba Platón y que contribuyó al desarrollo temprano de la teoría de las magnitudes inconmensurables. Las referencias que tenemos en obras históricas antiguas indican que Teodoro hizo algunos descubrimientos en geometría elemental que aparecieron más tarde incorporadas en los elementos de Euclides, pero las obras originales de Teodoro se han perdido. 5.- La aritmética y la geometría platónicas. La importancia de Platón en la historia de la matemática deriva en gran parte de su papel como inspirador y director de otros matemáticos, pero quizá a él personalmente se daba la distinción neta y clara que hizo la antigua Grecia entre aritmética en el sentido de teoría de números y logística o técnica de la computación. Platón consideraba a la logística como conveniente para el comerciante o para el hombre de guerra, que debe aprender el arte de los números o no sabrá cómo desplegar sus tropas. Lo mismo que en la aritmética había Platón un abismo que separaba los aspectos teóricos de los calculisticos, también en la geometría abrazó las causas de la matemática pura frente a las concepciones materialistas del artesano o del técnico. Euclides de Alejandría 1.- El autor de los Elementos. La muerte de Alejandro Magno había conducido a una feroz contienda entre los generales del ejército griego, pero hacia el año 306 a.C el control de la parte egipcia del imperio estaba ya firmemente en las manos de Ptolomeo l, y este ilustrado gobernante pudo dirigir al fin su atención a esfuerzos mas constructivos. Entre sus primeras decisiones estuvo el establecimiento de una escuela o instituto en Alejandría, conocido como el museo, no superado por ningún otro en su tiempo. Como profesores de esta escuela hizo llamar a un grupo de sabios de primera línea, entre los cuales estaba el autor de texto de matemáticas de éxito más fabuloso que se haya escrito nunca, los elementos de Euclides. Teniendo en cuenta la forma del autor, es notable lo poco que se sabe de la vida de Euclides. Su vida fue tan oscura que no hay asociado a su nombre ningún lugar de nacimiento. Aunque a menudo algunas ediciones de los elementos dan como identidad del autor la de Euclides de Magara, y en las historias de la matemática aparece frecuentemente un retrato de Euclides, se trata de un caso de confusión de identidad. El autentico Euclides era un discípulo de Sócrates y, aunque se ocupo de lógica, no se tenía más atraído por la matemática de su maestro. 2.-Otras obras. Hasta nuestros días han sobrevivido cinco obras de Euclides: los elementos, los datos, la división de figuras, los fenómenos y la óptica. La última de estas obras tiene el interés de ser una obra primitiva sobre perspectiva o la geometría de la visión directa. Los antiguos habían dividido el estudio de los fenómenos ópticos en tres partes: 1.- la óptica (o la geometría de la división directa) 2.- catóptrica(o la geometría de los rayos reflejados) 3.- dióptrica(o la geometría de los rayos refractados) Una catóptrica atribuida a veces a Euclides, es de autenticidad dudosa, siendo quizás debida a Teon de Alejandría que vivió unos 600 años después. La óptica de Euclides es notable por su adopción de una teoría de emisión de la visión, según la cual el ojo envía rayos que viajan hasta el objeto, en contraste con una teoría aristotélica rival según la cual viaja en línea recta una actividad en el medio ambiente desde el objeto hasta el ojo. Debe notarse que la matemática de la perspectiva es la misma cualquiera que sea la teoría de las dos que se adopte. Entre los teoremas que se encuentran en la óptica de Euclides hay uno que fue muy usado en la antigüedad. La obra Euclidea sobre división de figuras es significativa por su característica de ser una obra que se había perdido de no haber sido por la erudición de los sabios árabes. 3.- La finalidad de los elementos. La universidad de Alejandría no era probablemente muy distinta de las instituciones modernas de enseñanza superior. Algunos de los miembros de la facultad sobresaldrían en la investigación, otros se adaptarían mejor a tareas administrativas y otros aún destacarían por su capacidad pedagógica. Según parece por las referencias que tenemos, Euclides pertenecía de manera muy definida a esta última categoría; no hay ningún descubrimiento nuevo que se le atribuye a él directamente pero si destacó por su habilidad expositiva. Esa es la clave del éxito de su obra más importante, los elementos: se trataba claramente de un libro de texto, y no precisamente del primero. Sabemos que hubo al menos tres elementos análogos anteriormente, incluyendo el de Hipócrates de Chios, pero no que ni rastro de ellos ni de ningún otro rival potencial durante los tiempos antiguos. Los elementos de Euclides se destacaron tanto por encima de los restantes competidores que fueron los únicos que sobrevivieron. Los elementos eran, como se piensa a veces, un compendio de todos los conocimientos geométricos, sino más bien un texto introductorio que cubría toda la matemática elemental. 4.- Definiciones y postulados. A continuación de las definiciones Euclides nos presenta una lista de cinco postulados y cinco nociones comunes. Aristóteles había hecho una distinción clara entre axiomas o nociones comunes y postuladas, los primeros, según él debe ser convincente por sí mismo, por ser verdades comunes a todas las ciencias, menos que en la segunda son menos evidentes y no presuponen el asentimiento del que está aprendiendo, ya que se refiere solamente a la materia concreta de que se trate. Postulados: 1.- trazar una recta desde un punto a otro cualquiera. 2.-prolongar una línea recta finita de manera continua a otra línea recta. 3.- describir un círculo con cualquier centro y cualquier radio. 4.- que todos los ángulos rectos son iguales. 5.- que si una línea recta corta a otra dos líneas recta formando con ellas ángulos interiores del mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, prolongadas indefinidamente, se cortan del lado por el cual los ángulos son menores que dos ángulos rectos. Nociones comunes: 1.- cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre sí. 2.- si iguales se suman a iguales, los resultados son iguales. 3.- si iguales se restan de iguales, los restos son iguales. 4.- cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí. 5.- el todo es mayor que la parte. 5.- El contenido del libro 1. En las tres primeras proposiciones de Euclides pone un gran cuidado en demostrar laboriosamente que una interpretación muy restrictiva del postulado 3 implica, no obstante, el libre uso de los compases como se hace normalmente en geometría elemental para transportar distancias. Sin embargo, para los niveles modernos de rigor las hipótesis euclídeas son lamentablemente inadecuadas, y de hecho Euclides hace uso frecuentemente de postulados tácitos en sus demostraciones. La mayor parte de las proposiciones de libro l de elementos son bien conocidas para cualquiera que haya seguido un curso de geometría a nivel de enseñanza media. Entre ella están los conocidos teoremas sobre congruencia de triángulos, sobre las construcciones elementales con regla y compás, sobre las desigualdades relativas a ángulos y lados de un triangulo, sobre las propiedades de las rectas paralelas y de los paralelogramos. 6.- El algebra geométrica. El libro ll de los elementos es uno de los más cortos, con sólo 14 proposiciones, ningunas de las cuales juega ningún papel en los libros de texto modernos; sin embargo, en la época de Euclides este libro tenía una gran importancia. En otros libros posteriores de los elementos los V y Vll encontramos demostraciones de las propiedades conmutativas y asociativas de la multiplicación. Mientras que nosotros representamos las magnitudes por letras que se sobre entiende son números conocidos o desconocidos con las cuales operamos usando las reglas algorítmicas del álgebra, en tiempos de Euclides las magnitudes se representaban como segmento de línea recta obedeciendo a los axiomas y teoremas de la geometría. A veces se dice que los griegos no tenían algebra, pero esa es una afirmación patentemente falsa, tenían el libro ll de los elementos que es un algebra geométrica que le servía más o menos para los mismos fines que en nuestra algebra simbólica 7.- Los libros lll y lV. Generalmente se supone que el contenido de los dos primeros libros de los elementos es en gran medida obra de los pitagóricos. Los libros lll, lV, por otra parte, están dedicados a la geometría del circulo y aquí el material se supone que fue tomado en su mayor parte de Hipócrates de Chios. El contenido de estos dos libros no se diferencia mucho de los teoremas sobre círculos que contienen los libros de texto actuales; así, por ejemplo, la primera proposición el libro lll pide construir el centro de un circulo dado, y la ultima, la proposición 37, es el bien conocido teorema que dice que si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una tangente y una secante, entonces el cuadrado construido sobre la tangente es igual al rectángulo contenido por la secante completa y su segmento interior al círculo. 8.- La teoría de proporciones. Los libros más admirados de los trece que componen los elementos han sido el quinto y el décimo, el primero de ellos sobre la teoría general de proposiciones y el segundo sobre la clasificación de los inconmensurables. El descubrimiento de los inconmensurables había provocado una crisis lógica que arrojaba graves dudas sobre las demostraciones que recurrían a la idea de proporcionalidad, pero la crisis había sido evitada con éxito por medio de los principios enunciados por Eudoxo. No obstante, los matemáticos griegos tendían a evitar las proposiciones, y ya hemos visto que Euclides. Arquimedes de Siracusa. 1.- El asedio de Siracusa. Alejandría fue el centro de las actividades matemáticas a lo largo de toda la época Helenística, y, sin embargo el matemático más importante de esa época no era natural de dicha ciudad. Arquímedes pudo haber estudiado durante algún tiempo en Alejandría con los discípulos de Euclides y, de hecho mantenía una comunicación con los matemáticos de allí, pero vivió y murió en Siracusa. Los detalles que conocemos de su vida son escasos, pero disponemos de alguna información acerca de él por la historia de la vida de Marcelo, el general romano, escrita por Plutarco. Durante la segunda guerra púnica la cuidad de Siracusa se vio cogida en medio de la lucha por el poder entre Roma y Cartago, y al hacer ligado su suerte a la de los cartagineses, la cuidad fue sometida por los romanos a un asedio durante los años 214 al 212 a.C. Se nos cuenta que durante este asedio Arquímedes inventó ingeniosas maquinas de guerra para mantener alejado al enemigo, catapultas para lanzar piedras, sogas poleas y garfios para levantar los barcos romanos y dejándolos caer estrellándolos, artificios para prender fuego a los barcos desde lejos, etc. Finalmente, sin embargo, Siracusa cayó en poder de los romanos gracias a un maquina columna durante el saqueo de la ciudad. Arquímedes fue asesinado por unos de los soldados romanos, a pesar de las órdenes expresas de Marcelo de que se le respetara la vida. 2.- La ley de la palanca. Arquímedes no fue, naturalmente, el primero en usar la palanca, ni siquiera el primero en formular a ley general de la palanca. En las obras de Aristóteles se encuentra la afirmación de que dos pesos en los extremos de los brazos desiguales describirían arcos de circunferencias y no líneas rectas en su desplazamiento en torno al punto de apoyo, de manera que el extremo del brazo mayor se movería siguiendo una circunferencia mayor, luego el camino recorrido se aproximaría mas al movimiento rectilíneo vertical que no el del extremo del brazo menor; por lo tanto, la ley de la palanca resulta ser una consecuencia natural de este principio cinemática cualitativo. 3.- El principio hidrostático. A Arquímedes se le podía muy bien llamar el padre de la física matemática, no sólo por su obra en equilibrio de los planos, sino también por su otro tratado en dos libros sobre los cuerpos flotante. La demostración matemática de este principio de flotación fue sin duda el descubrimiento que hizo que el ensimismado Arquímedes abandonara su baño de un salto y corriera desnudo hasta su casa gritando “Eureka” “lo he encontrado”. Es posible también, aunque menos probables, que este principio le ayudase a comprar la honradez de un orfebre sospechoso de haber sustituido fraudulentamente parte del oro por la plata al fabricar una corona para el rey Herón de Siracusa. Un fraude como ese podía haber sido detectado fácilmente por el sencillo método de comparar las densidades del oro, la plata y la corona, midiendo simplemente los volúmenes de agua desplazada al sumergir sucesivamente pesos iguales de cada uno de ellos en un recipiente lleno de agua hasta el borde. El arquitecto romano posterior Vitrubio atribuyo este método a Arquímedes, y una obra poética latina anónima, el de ponderibus et Mensuris, escrita probablemente en torno al 500 d.C menciona el uso por Arquímedes del principio de flotación. 4.- El Arenario. En la antigüedad griega se hacia una distinción clara no sólo entre la teoría y las aplicaciones prácticas, sino también entre el cálculo rutinario y mecánico y el estudio teórico de las propiedades de los números; al primero de estos dos aspectos, por el que se dice que los sabios griegos mostraron generalmente desprecio, se le dio el nombre e logística, mientras se sobrentendía que la aritmética ocupación filosófica honorable, hacia referencias solamente al segundo aspectos. Se ha dicho incluso que esta actitud clásica con respecto al cálculo rutinario venia a reflejar la estructura socia de la antigüedad, en las que los cálculos numéricos quedaban relegados a los esclavos. Se ha el que sea el grado de verdad que encierra este punto de vista, no obstante perece haberse visto exagerado, puesto que los griegos se tomaron la molestia de reemplazar su antiguo sistema de numeración ático o herodiánico por otros sensiblemente más ventajosos, el jónico o alfabético. Arquímedes vivió aproximadamente en la época en que se hizo efectivo el cambio de la numeración ático a la jónica y esto puede darnos una explicación del hecho de que se entretuviera en hacer una contribución a la logística. 5.- La medida del círculo. Arquímedes mostró de nuevo su habilidad para los cálculos numéricos en su estimación aproximada de la razón de una circunferencia a su diámetro. Partiendo del hexágono regular inscrito en la circunferencia, calcula Arquímedes los perímetros de los polígonos obtenidos duplicando sucesivamente el número de lados hasta llegar al polígono regular de 96 lados. El procedimiento iterativo que utiliza para estos polígonos está relacionado con lo que a veces se llama el algoritmo de Arquímedes. 6.- La trisección del ángulo. Arquímedes también se vio atraído por los tres famosos problemas geométricos. Lo mismo que sus predecesores, y la espiral de Arquímedes, bien conocida, le permitió dar soluciones a dos de ellos. La espiral de Arquímedes se define como el lugar geométrico de un punto del plano que, partiendo del extremo de una semirrecta se mueve uniformemente sobre ella, mientras que la semirrecta gira a su vez uniformemente alrededor se su extremo. El estudio que llevo a cabo Arquímedes sobre la espiral, curva que el mismo atribuye a su amigo Conon de Alejandría, formaba parte indudablemente de la búsqueda general de soluciones a los tres problemas famosos por parte de los griegos. Esta curva se presta tan bien a las multisecciones de un ángulo que muy bien pudo haber sido inventada por Conon con este objeto. 7.- El área de un segmento parabólico. El libro sobre las espirales fue muy admirado pero poco leído, ya que se le consideró generalmente como la más fácil de todas la obras de Arquímedes. De los tratados que se refieren principalmente al método de exhausción, el más popular fue el de la cuadratura de la parábola. Cuando escribía Arquímedes, las secciones cónicas se conocían desde hacía casi un siglo, y, sin embargo, no se había hecho ningún progreso en lo que se refiere al cálculo de áreas relacionadas con ellas. Una sección cónica, concretamente un segmento de parábola, lo que consigue en la proposición 17 de la obra dedicada a dicha cuadratura. En el preámbulo a la cuadratura de la parábola nos encontramos con la hipótesis o lema que se suele conocer hoy como el axioma de Arquímedes. “que el exceso por el cual la mayor de dos áreas desiguales supera al menor, añadido a sí mismo la cantidad de veces que sea necesario, puede llegar a exceder cualquier área dada” 8.- El volumen de un segmento de paraboloide. Parece ser que Arquímedes no pudo hallar el área de un segmento general de elipse o de hipérbola. En realidad el cálculo del área de un segmento parabólico por el método de integración moderno no involucra nada peor que simples polinomios, pero las integrales que aparecen en la cuadratura de un segmento de elipse o de hipérbola exigen ya la utilización de funciones trascendentes. No obstante, Arquímedes, en su importante trabajo sobre conoides y esferoides, calcula el área de la elipse, completa: “las áreas de las elipse son entre sí como los rectángulos construidos sobre sus ejes”. 9.- El segmento esférico. Arquímedes escribió un buen número de tratados, admirables todos ellos, de los cuales el que más impresión a su sucesor fue sobre las espirales. El autor mismo parece haberse inclinado por otro, el de sobre la esfera y el cilindro. Arquímedes pido que se tallara sobre su tumba una representación de una esfera escrita en un cilindro circular recto de altura igual al diámetro de la esfera, ya que descubrió Arquímedes posteriormente a su cuadratura de la parábola, no la conocían según el mismo nos dice, los geómetras anteriores. Durante un tiempo se creyó que los egipcios conocían el área de un hemisferio esférico, pero ahora parece claro que fue Arquímedes el primero que descubrió y demostró que el área de la esfera es exactamente igual a cuatro veces el área de un círculo máximo de dicha esfera. Apolonio de Perga. 1.- Obras perdidas. Durante el primer siglo aproximadamente de la época Helenística hubo tres matemáticos cuyas figuras aparecen sobresaliendo por encima de todos los demás de su tiempo, así como también por encima de la mayoría de sus procesadores y de sus sucesores. Estos matemáticos fueron Euclides Arquímedes y Apolonio, y sus obras son las que han hecho que se denomine como “edad de oro” de la matemática griega al periodo que va del 300 al 200 a.C. en cierto sentido la matemática se había quedado rezagada con respecto a las artes y la literatura, ya que realmente es la edad de Pericles, a mediados del siglo V a.C. la que se suele conocer en un sentido más general como “edad de oro” de la cultura griega. Debido a ello, como decimos, a nuestro matemático se le distingue de los demás por el uso de su nombre completo, Apolonio de Perga. No conocemos con exactitud las fechas límites de su vida, pero se dice que vivió durante los reinados de Ptolomeo Evergetes y de Ptolomeo Filopater; una cierta información nos lo muestra incluso como tesoro general de Ptolomeo Filadelfo, y se dice también que era de veinticinco a cuarenta años más joven que Arquímedes. Apolonio escribió un libro, que se ha perdido, titulado Reparto rápido, en el que se enseñaban, al parecer, métodos rápidos de cálculos. Se dice también que Apolonio daba en este libro una aproximación de π mejor que la dada por Arquímedes, probablemente el valor que conocemos como 3,1416, pero no sabemos cómo se consiguió este valor que aparece más tarde en Ptolomeo y en la india. Seis de la obras de Apolonio fueron inclinadas, por lo que sabemos, junto con un par de tratados de los más avanzados de Euclides, en una colección conocida como el tesoro de análisis. 2.- La reconstrucción de las obras perdidas. Es posible obtener, a partir de las descripciones dadas por Pappus, entre otros, una idea bastante aproximada del contenido de algunas de las obras griegas perdidas y, cuando se puso de moda el juego intelectual de reconstruir las obras geométricas que no han llegado hasta nosotros, durante el siglo XVll, los tratados de Apolonio estuvieron entre los favoritos. De las reconstrucciones de los lugares planos, por ejemplo, podemos deducir que los siguientes fueron dos de los lugares considerados: (1) el lugar geométrico de los puntos tales que la diferencia entre los cuadrados de sus distancias a dos puntos fijos es constante, es una recta perpendicular a la que determinan estos dos puntos. (2) el lugar geométrico de los puntos cuya razón de distancias a dos puntos fijos es contante (y distinto de uno) es una circunferencia. Este último lugar geométrico se conoce, de hecho, como circulo de Apolonio, pero se trata sin duda de un nombre inadecuado, ya que había sido conocido anteriormente por Aristóteles, quien lo utilizó para tratar de dar una justificación matemática de la forma semicircular del arco iris. 3.- El problema de Apolonio. El tratado sobre tangencias era de un tipo muy diferente al de los tres que homos comentado, ya que tal como nos lo describe Pappus nos encontramos estudiando en él el problema que hoy se conoce familiarmente como el “problema de Apolonio”. Dados tres elementos, cada uno de los cuales puede ser un punto, una recta o una circunferencia, trácese una circunferencia que sea tangente a cada uno de los tres elementos dados (donde debe entenderse que ser tangente una circunferencia a un punto significa pasar por él). Este problema da lugar a diez casos posibles, desde los dos más sencillos en los que los tres elementos son tres puntos o tres rectas, al más fácil de todos trazar una circunferencia tangente a otras tres dadas. Los dos casos más fácil de todos, trazar una circunferencia tangente a otras tres dadas. La trisección de un ángulo hecha por Arquímedes, en la que se intercalaba una longitud dada entre una recta y una circunferencia, a lo largo de otra recta que se hace girar para ello alrededor de un punto fijo. El tratado de Apolonio sobre inclinaciones estaba dedicado al estudio de la clase de problemas del tipo de neusis que pueden ser resueltos por métodos, es decir, mediante el uso de regla y compas exclusivamente. Pueden encontrarse en la antigüedad alusiones a otras obras perdidas de Apolonio, entre las cuales se halla una sobre la comparación del dodecaedro y del icosaedro. 4.- Ciclos y epiciclos. Apolonio fue también un astrónomo famoso. Según todos los indicios a él se debe el artificio matemático favorito en la antigüedad para representar los movimientos de los planetas. En lugar de las esferas concéntricas que había utilizado Eudoxo, Apolonio propuso dos sistemas alternativos, uno de ellos a base de movimientos epicíclicos y el otro a partir de movimiento excéntricos. 5.- Las Cónicas. A pesar de su abundante producción científica, sólo dos de los muchos tratados escritos por Apolonio han sobrevivido en su mayor parte. Todas las versiones griegas de sus secciones en una razón dada se perdieron hace largo tiempo, pero no antes de que se hiciera una traducción de esta obra al latín, y a partir de entonces ha parecido traducida a diversas leguas moderna. De esta famosa obra sólo se conserva en el original griego la mitad, los cuatro primeros de sus ocho libros; pero por suerte un matemático árabe, Thabit ibn Qurra, tradujo los tres libros siguientes al árabe antes de que desapareciera su versión griega, y esta traducción se ha conservado. En 1710, Edmundo Halley publicó una traducción al latín de los siete libros, y desde entonces se han publicado muchas versiones en lenguas modernas. El libro l de las cónicas comienza con una exposición de los motivos para escribir la obra. Así sabemos que mientras Apolonio estaba en Alejandría fue visitado por un geómetra llamado Naucrates, y fue a petición de este último que Apolonio escribió un apresurado borrador de las cónicas en ocho libros. Los cuatros primeros libros los escribe el autor como constituyendo una introducción elemental, y se supone generalmente que la mayor parte del material que contiene había aparecido publicado ya en los anteriores tratados sobre cónicas. Anteriormente a Apolonio la elipse, la parábola y la hipérbola se obtenían como secciones por medio de un plano de tres tipos de conos circulares rectos distintos según que el ángulo en el vértice fuese agudo, recto u obtuso. 6.- Los nombres de las secciones Cónicas. No hay duda de que a lo largo de la historia de la matemática los conceptos han sido mucho más importantes que la terminología utilizada, pero no obstante el cambio de nombre de la sección cónica debido a Apolonio tiene una importancia mayor que la usual. Durante un siglo y medio aproximadamente estas curvas no tuvieron otro nombre específicos más que descripciones triviales de la manera como habían sido descubiertas: secciones de un cono agudo, secciones de un cono rectángulo y secciones de un cono obtuso. Arquímedes siguió utilizando estos nombres, aunque según parece también usó ya el nombre de parábola como sinónimo para una sección de un cono rectángulo. Pero fue realmente Apolonio, posiblemente siguiendo una sugerencia de Arquímedes, quien introdujo por primera vez los nombres de elipse y de hipérbola en conexión con estas curvas. 7.- El cono de dos hojas. Apolonio hizo una contribución notable a la geometría, pero aun así no consiguió llegar en el grado de generalidad todo lo lejos que podría haber ido. Apolonio podría haber comenzado de la misma manera con un cono elíptico, o bien con un cono cuadrático en general, y haber obtenido no obstante las mismas curvas. Es decir cualquier sección palana de un cono circular como los que utiliza Apolonio podría haber servido como curva generatriz o base en su definición, de manera que la particularización a un cono circular no es necesaria. De hecho, tal y como demuestra Apolonio mismo, todo cono circular oblicuo tiene no sólo un sistema infinito de secciones circulares paralelas a la de la base, sino también otro conjunto infinito de secciones circulares dadas por todas las que él llamó secciones subcontrarias 8.-Las propiedades fundamentales. Los geómetras griegos clasificaban las curvas en tres categorías: la primera conocida con el nombre de lugares planos, contenían a todas las líneas rectas y circunferencias; la segunda, conocida como la de los lugares sólidos, estaba constituidas por todas las secciones cónicas; y la tercera categoría, conocida como la de los lugares lineales, agrupaba a todas las curvas restantes. El nombre dado a la segunda clase venía sugerido sin duda por el hecho de que las cónicas no se definían como lugares geométricos de puntos del plano que satisfacen una condición determinada, tal como se suele hacer hoy, sino que se describían de una manera estereométrica como secciones de una figura tridimensional por un plano. 9.- Diámetros conjugados. Una vez que Apolonio obtuvo, a partir de sus consideraciones estereométricas sobre el cono, las relaciones básicas entre lo que nosotros no podíamos por menos de llamar las coordenadas de un punto de la curva en el plano. El autor de la cónicas nos dice que ha tratado en su libro l de las propiedades fundamentales de estas curvas de una manera más completa y más general que en los escritos de los otros autores. Hasta que punto responde a la realidad esta afirmación puede deducirse del hecho de que es aquí, en el mismísimo libro l, donde se desarrolla, por ejemplo, la teoría de los diámetros conjugados en una cónica, este sistema de diámetro conjugado constituye un marco de referencia extraordinariamente útil para referir a él una cónica, ya que, como demostró Apolonio, si se traza una recta por un extremo de un diámetro de una elipse o de una hipérbola, paralela al diámetro conjugado del primer, entonces esta recta tocará a la cónica en el punto en cuestión y no será posible trazar otra recta tocará a la cónica en el punto en cuestión y no será posible trazar otra recta entre ella y la cónica; es decir, la recta en cuestión será tangente a la cónica. Capitulo X. La trigonometría y las técnicas de medición griegas. 1.- La trigonometría primitiva. La trigonometría, al igual que cualquier otra rama de la matemática, no fue el resultado de la labor de un solo hombre ni de una única nación. Ya los antiguos egipcios y babilonios conocían y habían utilizado propiedades o teoremas relativos a las razones entre los lados de triángulos semejantes, sin formularlos de una manera explícita, naturalmente. Dado que no nos encontramos con ningún indicio del concepto de medida de ángulo en el mundo prehelénico, tales estudios y consideraciones podrían quizá llamarse trilateterometría, o medida de los polígonos de tres lados o triláteros, mejor que trigonometría o medida de las distintas partes de un triangulo. Con los griegos nos encontramos por primera vez con un estudio sistemático de las relaciones entre los ángulos centrales en un círculo y las longitudes de las cuerdas que los subtienden. Las propiedades de las cuerdas, tomadas como medidas de ángulos centrales e inscritos en una circunferencia, les eran familiares ya a los griegos de la época de Hipócrates, y es posible que Eudoxo haya usado razones y este tipo de medidas de ángulos para determinar el tamaño de la tierra y las distancias relativas del sol y de la luna. En las obras de Euclides no aparece la trigonometría, en el sentido escrito del término, pero sí que hay teoremas equivalentes a leyes o formulas trigonométricas concretas. 2.- Aristarco de Samos. Aristarco, según nos cuenta Arquímedes y Plutarco, propuso un sistema astronómico heliocéntrico, anticipándose así a Copérnico en más de un milenio y medio, pero todo lo que pudiera haber escrito sobre este sistema se ha perdido. En cambio si nos ha llegado un tratado de Aristarco, escrito probablemente antes de elaborar su teoría heliocéntrica en torno al 260 a.C, titulado sobre los tamaños y las distancias del sol y la luna, en el que se supone un universo geocéntrico. En esta obra Aristarco hace la observación de que cuando la luna está exactamente medio llena, el ángulo entre la visual dirigida al centro del sol y la visual dirigida al centro de la luna es menor que un ángulo recto en un treintavo de cuadrante. 3.- Eratóstenes de Cirene. Todo lo que se necesitaba para llegar a conseguir una estimación aproximada de los tamaños reales del sol y de la luna, era medir el radio de la tierra. Aristóteles había hablado de una media equivalente a unas 40.000 millas para la circunferencia de la tierra, y Arquímedes nos informa de que algunos de sus contemporáneos estimaban dichos perímetros en unas 30.000 millas. Un cálculo mucho mejor, y el más célebre de todos a considerables distancias, fue el que llevo a cabo Eratóstenes, un contemporáneo más joven de Arquímedes y Aristarco. Eratóstenes había nacido en Cirene, pero pasó la mayor parte de su juventud en Atenas, donde consiguió al parecer destacar en muy diversos campos: en poesía, astronomía, historia, etc. hasta que fue llamado a Alejandría hacia la mitad de su vida, por Ptolomeo lll Filopator para ser tutor de su hijo, y a la vez desempeñar el cargo de la bibliotecario de la universidad de esta ciudad. 4.- Hiparco de Nicea. Durante unos dos siglos y medio, de Hipócrates a Eratóstenes, los matemáticos griegos se había dedicado a estudiar relaciones entre rectas y circunferencia, y habían aplicado estas relaciones a una gran variedad de problemas astronómicos, pero de todo ello no había resultado nada que pudiera llamarse una trigonometría más o menos sistemática. Las contribuciones principales que se atribuyen a Hiparco en el campo de la astronomía fueron la de redactar un catálogo de estrellas, la de mejorar el cálculo de algunas constantes astronómicas importantes, tales como la duración del mes y del año, el tamaño de la luna y el ángulo de oblicuidad de la eclíptica, y, por último el descubrimiento del fenómeno de la precesión de los equinoccios. A menudo ha puesto que Hiparco fue en gran medida el responsable de la construcción de sistemas planetarios geométricos, pero esto no es seguro, ya que no está nada claro hasta qué punto Apolonio pudo haber aplicado métodos trigonométricos a la astronomía un poco antes de Hiparco. 5.- Menelao de Alejandría. Teón menciona también otro tratado en seis libros, debido a Menelao de Alejandría, que trataba de cuerdas en un círculo. Los comentaristas griegos tardíos y árabes mencionan otras obras matemáticas y astronómicas de Menelao, entre las que se encuentran unos elementos de geometría, pero la única ha sobrevivido, y eso sólo en su versión árabe, en su esférica. Es probable que Euclides conociera ya el teorema de Menelao para el caso de triángulos planos y quizá incluso lo incluyese en su obra perdida porismas. 6.- El Almagesto de ptolomeo. El teorema de Menelao jugó un papel fundamental en la trigonometría esférica y en astronomía, pero no obstante la obra trigonométrica más significativa y que tuvo una mayor influencia, con muchas diferencias sobre las demás de toda la antigüedad, fue la sintaxis matemáticas, una obra en trece libros escritas por Ptolomeo. De la vida se su autor tenemos tan poca información como de la del autor de los elementos: no sabemos ni cuándo ni donde nacieron ni Euclides ni Ptolomeo. 7.- El circulo de 360 grados. Desde la época de Hiparco hasta la edad moderna no hubo nada parecido a nuestras razones trigonométricas. Los griegos, y después de ellos los hindúes y los árabes usaban líneas trigonométricas. Estas líneas al principio tomaron la forma, como hemos visto, de cuerdas en círculos, y a Ptolomeo le correspondió la tarea de asociarle valores numéricos, aproximadamente, a dicha cuerdas. 8.- El cálculo de las tablas. Una vez decidido el sistema de medición, Ptolomeo disponía de todo lo necesario para calcular cuerdas de ángulos dentro de ese sistema. Por ejemplo, dado que el radio del círculo de referencia medía 60 partes, la cuerda de un arco de 60° contenía también 60 partes lineales. De una manera accidental, este teorema de Euclides nos proporciona la justificación de la elegante construcción del pentágono regular inscrito en una circunferencia, dada por Ptolomeo. 9.- La astronomía de Ptolomeo. Armado de las formulas para las cuerdas de las sumas y diferencias de arcos y para la cuerda del arco mitad, y con un valor bien calculado para la cuerda de un arco de ½°, se dispuso por fin Ptolomeo a construir su tabla, correcta hasta el último segundo, de las cuerdas de todos los arcos desde ½° hasta 180°, de medio en medio grado, esta tabla es esencialmente la misma que en la tabla actual de senos de ángulos desde ¼° hasta 90°, de cuarto en cuarto grado, y formaba parte del libro l de Almagesto, constituyendo así una herramienta indispensable para los astrónomos a lo largo de más de mil años. Lo mismo que Arquímedes, Hiparco y la mayor parte de los grandes pensadores de la antigüedad, Ptolomeo postuló un universo esencialmente geocéntrico, debido al hecho de que una tierra en movimiento parecía dar lugar a graves dificultades, tales como la usencia de paralaje estelar apreciable y las aparentes inconsistencias de un teórico movimiento de la tierra con los fenómenos de la dinámica terrestre. Platón le había propuesto a Eudoxo el problema astronómico de salvar los fenómenos, es decir, de idear un artificio matemático tal como, por ejemplo, una combinación de movimiento circulares uniformes, de manera que sirviera como modelo de los movimientos aparentes de los planetas, pero el sistema de Eudoxo de las esferas homocéntricas fue abandonando casi completamente por los matemáticos a favor del sistema de ciclos y epiciclos de Apolonio e Hiparco. 10.- Otras obras de Ptolomeo. La forma actual de Ptolomeo está asociada en gran parte a un único libro, el Almagesto, pero ésta es sólo una de las varias obras que escribió. Entres las más importantes se encuentra también una geografía en ocho libros, que fue una verdadera biblia para los geógrafos de la época, lo mismo que para los astrónomos lo fue el Almagesto. La geografía de Ptolomeo introdujo el sistema de longitudes y latitudes que todavía usamos hoy como coordenadas geográficas, además de describir algunos métodos de proyección cartográfica y de catalogar unas 8.000 ciudades, ríos y otros accidentes geográficos importantes de la superficie conocida de la tierra. En aquella época no se conocía ninguna manera satisfactoria de determinar longitudes y, por lo tanto eran inevitables errores importantes de localización. Los métodos geográficos de Ptolomeo funcionaban mejor en la teoría que en la práctica, como puede comprobarse por otros de sus libros que han llegado a nosotros sólo en sus traducciones del árabe al latín, y en los que trata de dos tipos de proyección cartográfica distintos. En Alemania se explica la proyección ortográfica, y ésta es la primera noticia que tenemos de este método, aunque es posible que hubiera sido utilizada ya por Hiparco. 11.- Óptica y astrología. Ptolomeo escribió también una óptica que ha sobrevivido, aunque de una manera imperfecta, a través de su versión latina de una traducción árabe. Esta obra trata de la física y de la psicología de la visión, de la geometría de los espejos y de un primitivo intento de deducir las leyes de la refracción a partir de las tablas que Ptolomeo para los ángulos de refracción. A partir de las tablas que da Ptolomeo para los ángulos de refracción de la luz que pasa del aire al agua. También del aire al cristal y del agua al cristal. La trigonometría se aplico casi exclusivamente a la astronomía y a la geografía durante el primer milenio y medio de su existencia, y tuvo que llegar el siglo XVll para que se descubriesen las primeras aplicaciones de la trigonometría a la refracción y a otros fenómenos físicos. El tetrabiblos se diferencia del Almagesto no sólo en el sentido en que la astrología se diferencia de la astronomía, sino que estas dos obras utilizan también tipos de matemáticas diferentes. El Almagesto es un libro complejo y sólidamente fundamentado que hace un uso minucioso de la clásica geometría sintética griega, mientras que el Tetrabiblos es un caso típico de la seudociencia de la época en que se adoptaron los primitivos artificios aritméticos babilónico. 12.-Herón de Alejandría. Herón de Alejandría se le conoce en la historia de la matemática sobre todo por la formula que lleva su nombre, y que nos da el área de un triangulo. La palabra geometría significaba originalmente medida de la tierra, pero lo cierto es que la geometría clásica tal como nos la encontramos en los elementos de Euclides y de las cónicas de Apolonio, está muy alejada de la vulgar agrimensura. La obra de Herón Renacimiento y ocaso de la matemática griega. 1.- La matemática aplicada. Los largos intervalos transcurridos tanto en el tiempo como en el espacio dieron lugar a diversos cambios tanto en la extensión como en la profundidad de la actividad matemática, y de la ciencia griega en general tampoco conservó su identidad si identidad invariable, siglos tras siglos, como ocurrió con la ciencia prehelénica. El período que vamos a estudiar en este capítulo que va Ptolomeo a Proclo, abarca casi cuatro siglos, desde el segundo hasta el sexto, pero nuestra exposición se basa, en su mayor parte, sólo en dos tratados principales, de los cuales a su vez sólo nos han llegado partes, aunque importantes, así como en un pequeño número de obras de menor importancia. Herón y Ptolomeo fueron ambos sabios griegos, pero vivieron ya en un mundo dominado políticamente por Roma. La muerte de Arquímedes a manos de un soldado romano pudo ser sólo una casualidad, pero el hecho es que resultó verdaderamente profética. 2.- Diofanto de Alejandría. Ya hemos visto que la matemática griega no se mantuvo uniformemente a un nivel alto, sino que el glorioso período del siglo lll a.C. fue seguido por una época de decadencia que quizá mejoró un poco con Ptolomeo, pero que no se recuperó de una manera efectiva hasta la edad de plata, de la matemática griega, en torno al siglo que va del 250 al 350 aproximadamente. A comienzo de este período, conocido también como la edad Alejandrina Tardía nos encontramos con el más importante de todos los algebristas griegos, Diofanto de Alejandría, y hacia el fin aparece el último geómetra importante en la matemática griega, Pappus de Alejandría. No ha habido nunca otra ciudad que haya sido el centro de la actividad matemática durante un período tan largo como lo fue Alejandría desde los días de Euclides hacia el 300 a.C. hasta la muerte de Hipatía en el año 415. 3.- Nicómaco de Gerasa. A Diofanto se le puede llamar el padre del álgebra, pero ya veremos más adelante que esta denominado no hay que tomarla demasiado literalmente, dado que su obra no contiene nada del material que constituye la base del álgebra elemental moderna, ni tampoco se parece en absoluto al álgebra geométrica que nos encontramos en Euclides. La obra más importante que conocemos de Diofanto en su Arithmetica, que es un tratado originalmente en trece libros, de los que sólo han sobrevivido los seis primeros. El nivel de sus obras puede juzgarse por el hecho de que Nicómaco considerarse conveniente incluir una tabla de multiplicar hasta el l por l, es decir, 10 por 10. Si esta tabla estaba va en el original y no es una simple interpolación posterior, entonces se trata del ejemplo más antiguo que nos ha llegado de una tabla griega de este tipo, aunque conozcamos muchas otras tablas de multiplicar babilónicas unos dos milenios más antiguo. La introducción de Nicómaco no tenía la intención de ser un tratado de cálculo ni de álgebra, sino un manual conteniendo aquellos elementos de la matemática que resultaban esenciales para entender la filosofía pitagórica y platónica, y en este sentido sirvió como modelo para muchos imitadores y comentadores posteriores. 4.- La aritmética de Diofanto. Bien distintas las obras de Nicómano, Teón y Boecio era el Arithmetica de Diofanto, que constituía un tratado caracterizado por un alto grado de habilidad matemática y de ingenio puesto en juego. Al estar divorciada de los métodos geométricos, recuerda mucho al álgebra babilónica, pero mientras que la matemática babilónica se había ocupado principalmente de la solución aproximada de ecuaciones deterninadas e indeterminadas. Debido al énfasis que se pone en la Arithmetica en la solución de problemas determinados, la teoría que se pone en la Arithmetica en la solución de problemas indeterminados, la teoría que se ocupa de estos temas, y a veces se denomina análisis Diofántico, y como estas materias forman parte hoy generalemete de los cursos e teoría de números más bien que del álgebra elemental, no resulta muy adecuado desde este punto de vista el considerar a Diofanto como el padre del álgebra. 5.- Los problemas Diofanticos. Diofanto resuelve problemas con varias incógnitas expresado hábilmente todas las cantidades desconocidas en términos de una sola de ellas, siempre que esto sea posible. En estos problemas nos encontramos con ecuaciones determinadas, pero Diofanto utilizaba, de hecho, esencialmente el mismo método para los problemas de análisis indeterminado. En un cierto problema se pide calcular dos números tales que al sumar cualquier de ellos con el cuadrado del otro da siempre como resultado un cuadrado perfecto; éste es un ejemplo típico de problemas de análisis diofántico, en el que sólo se admiten como soluciones aceptables números racionales. 6.- El lugar de Diofanto en la historia del algebra. Diofanto está interesado únicamente en soluciones racionales exactas, mientras que los babilonios, expertos calculistas, estaban dispuestos siempre a aceptar aproximaciones de números irracionales como soluciones de sus ecuaciones. No se sabe cuántos de los problemas de la Arithmetica son originales de Diofanto y cuantos tomó prestados, en su caso, de otras colecciones análogas. Es más probables que algunos que al menos algunos de los problemas y de los métodos se pueden rastrear hasta sus orígenes babilónicos, ya que algunos ejercicios y pasatiempos o acertijos numéricos han tenido la tendencia a reaparecer persistentemente generación tras generación. La Arithmetica de Diofanto presenta un aspecto sorprendentemente original, pero es posible que esta impresión sea el resultado de que se hayan perdido otras colecciones de problemas rivales. 7.- Pappus de Alejandría. La Arithmetica de Diofanto es una obra brillante digna del periodo de renacimiento matemático en que fue escrita, pero está muy alejada, tanto en su motivación como en su contenido, de su contenido, de los bellos tratados lógicos del gran triunvirato de geometría de los comienzos de la época de Alejandría. El álgebra pareció adecuarse más a la resolución de problemas que a la exposición deductiva, y debido a ello la gran obra de Diofanto quedó fuera de la corriente central de la matemática griega. Otra obra menor de Diofanto sobre números poligonales se acerca más a los intereses griegos anteriores, pero ni siquiera ésta puede ser considerada como una aproximación al clásico ideal lógico griego. La geometría clásica no había encontrado ningún defensor entusiastas, con la posible excepción de Menelao, desde la muerte de Apolonia cuatrocientos y pico años antes, pero durante el reinado de Diocleciano 284-305 vivió en Alejandría un sabio a quien animaba el mismo espíritu que había movido a Euclides, Arquímedes y Apolonio: nos referimos a Pappus de Alejandría, que escribió un libro hacia el año 320 con el titulo de colección matemática, que es importante para varias razones. China e india. 1.- Los documentos más antiguos. Las civilizaciones de China y de la india son muchos más antiguas que las de Grecia y Roma, aunque no más que las que surgieron en los valles de Mesopotamia y del Nilo; ambas se remontan a lo que hemos llamado la edad potámica, mientras que las culturas griega y romana se desarrollaron durante la edad Potámica, mientras que las culturas griegas y romana se desarrollaron durante la edad Talásica. Aunque las civilizaciones que tuvieron su cuna en las cuencas de los ríos Yangtze y amarillo son comparables en edad con las que nacieron a lo largo del Nilo o entre el Eufrates y el Tigris, los registros cronológicos en el caso de China son muchos menos fiables que los que tenemos para Egipto y Babilonia. Algunos historiadores consideran al Chou Pei como un buen ejemplo de lo que era la matemática china del 1200 a.C. aproximadamente, pero hay otros que sitúan la obra en el primer siglo anterior a nuestra era. El Chou Pei nos revela que en china lo mismo que nos dice Heredoto de Egipto, la geometría debió surgir de la agrimensura, y que, como pasaba en babilonia, la geometría china se reducía esencialmente a un ejercicio numérico de aritmética o de álgebra. Parece haber algunas indicaciones en el Chou Pei relativas al teorema de Pitágoras, un teorema tratado, en cualquier caso, algebraicamente por los chinos. 2.- Los nueve capítulos. Casi tan antiguo como el Chou Pei es el Chui.chang suan-shu, o los nueve capítulos sobre el Arte matemático, quizá la obra que ejerció una mayor influencia de entre los libros matemáticos chino. Este libro incluye 246 problemas sobre agrimensura, agricultura, compañía ingeniería, impuestos, cálculo resolución de ecuaciones y las propiedades de los triángulos rectángulos. En las obras matemáticas chinas, al igual que pasaba con las egipcias, uno se sorprende por la abigarrada mezcla de resultados exactos e inexactos, primitivos y sofisticados. El capitulo ocho de los nueve capítulos tiene importancia por la resolución de problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales, utilizando números positivos y negativos; el último problema de este capítulo, por ejemplo plantea la resolución de un sistema de cuatro ecuaciones con cinco incógnitas, y el tema de las ecuaciones indeterminadas va a quedar ya como uno de los favoritos de los pueblos orientales. 3.- Los cuadrados mágicos. Los chinos han sido siempre muy aficionados a los diseños armónicos, aritméticos o geométricos, y no es nada sorprendente por lo tanto que el primer ejemplo registrado de cuadrado mágico de origen sin duda antiguo, pero desconocido. El cuadrado le fue comunicado a los hombres por una tortuga del rio Lo, según la leyenda en los días del emperador Yii, famosos ingeniero hidráulico. El interés por este tipo de modelos es sin duda lo que llevó al autor de los nueves capítulos a resolver el sistema de ecuaciones lineales. 4.- Los numerales a base de varillas. si la matemática china hubiera disfrutado de una continuidad sin interrupciones basada en la tradición, es posible que algunas de las sorprendentes anticipaciones de ciertos métodos modernos pudiera haber llegado a modificar de una manera significativa el desarrollo de la matemática , por la cultura china vio a veces seriamente dificultado su desarrollo por bruscas rupturas. En años 213 a.C. En china se utilizaron dos esquemas de notación distintos desde tiempos más primitivos. En uno de ellos predominaba el principio multiplicativo, mientras que en el otro se utilizaba una forma de notación posicional. La época exacta en la que aparecieron los numerales a base de varillas no se ha podido determinar, pero es seguro que ya se usaba varios siglos antes de nuestra era, es decir, muchos antes de que se adoptase el sistema de notación posicional en la india. El uso de un sistema posicional centesimal más que decimal en China resultó conveniente para la adaptación de los cálculos a la tabla de calcular; las distintas notaciones para las potencias vecinas de o permitían a los chinos utilizar una tabla de calcular con columna verticales sin marca, y hasta el siglo Vlll el lugar que debía ocupar un cero se dejaba simplemente en blanco. 5.- El ábaco y las fracciones decimales. Los numerales a base de varillas del 300 a.C. aproximadamente no era, como decimos, una simple notación para escribir los resultados de una computación, sino los administradores, por ejemplo, llevaban consigo una bolsa que contenía una colección de varillas concretas de bambú, marfil o hierro, que utilizaban como instrumentos para hacer sus cálculos. El ábaco árabe tenía diez bolas en cada alambre y no tenia barra central y dos por encima; cada una de las bolas superiores en un mismo alambre del ábaco chino equivale a cinco de las inferiores, y para registrar un número se hace deslizar el correspondiente a la bola hacia la barra central que la separa unas de otros. 6.- Los valores de π en china. La matemática china primitiva es tan distinta de la que se hacía en la misma época en otros lugares del mundo que parecería completamente justificada la hipótesis de un desarrollo independiente por completo. En cualquier caso, lo que parece que puede afirmarse con toda seguridad es que si hubo alguna intercomunicación antes del 400, entonces salió más matemática de china que entró, pero en cambio para periodos posteriores las cuestiones se hace más fácil de responde. El uso del valor 3 para π en la matemática china primitiva apenas puede servir como argumento a favor de una hipotética dependencia de Mesopotamia, especialmente a la vista de que la búsqueda de valores cada vez más exactos fue más persistente en china que en ningún otro sitio, desde los primeros siglos de la era cristiana. 7.- El algebra y el método de Horner. Los problemas que nos encontramos en la matemática china parecen ser a menudo más pintorescos que prácticos, y, sin embargo, la civilización china produjo un número de innovaciones técnicas sorprendente alto. En esta época había matemáticos trabajando en diversos lugares de China, pero las relaciones entres ellos parecen haber sido escasas y remotas y, como en el caso de la matemática griega, han llegado hasta nosotros relativamente pocos de los tratados que circularon en su día evidentemente. El ultimo y a la vez el más importante de los matemáticos Sung fue Chu Shih-Chieh, que floreció hacia los años 1280-1303, a pesar de lo cual sabemos tan poco sobre él que ni siquiera conocemos la fecha exacta de su nacimiento ni la de su muerte. Vivió en Yen-shan, cerca de Peking, pero parece ser que estuvo viajando durante unos veinte años, en plan de sabio errante que se ganaba la vida enseñando matemáticas, a pesar de lo cual encontró el tiempo y la tranquilidad suficiente para escribir dos tratados; el primero de ellos, escrito hacia el 1299, un libro relativamente elemental que ejerció sin embargo una gran influencia en Corea y en Japón, aunque en china desapareció más tarde y estuvo perdido hasta su reaparición en el siglo XlX.